الثنائي والعشري والسداسي عشري: كيف تنتقل من نظام إلى آخر

ما النظام الموضعي

في العدد العشري 4,095 لا تساوي الـ4 أربعة: بل 4,000، لأنها في خانة الآلاف. كل موضع يضرب الرقم في قوة للعدد 10 (1 و10 و100 و1,000…). هذا هو النظام الموضعي، والأساس هو عدد الأرقام المختلفة المستعملة: عشرة في النظام العشري.

والثنائي يعمل بالطريقة نفسها لكن بالأساس 2: لا يوجد إلا 0 و1، وكل خانة تساوي ضعف التي قبلها. أما السداسي عشري فأساسه 16: أرقامه الستة عشر هي من 0 إلى 9 والحروف من A إلى F، وكل خانة تساوي 16 ضعفاً للتي قبلها. تعمل الحواسيب بالثنائي لأن الدارة لا تحتاج إلا إلى التمييز بين حالتين (إطفاء وتشغيل)، والسداسي عشري طريقة مختصرة لكتابة تلك البتات.

من الثنائي إلى العشري يدوياً

نكتب كل رقم مع قيمة خانته ونجمع فقط الخانات التي فيها 1. مثال مع 1101: من اليمين إلى اليسار قيم الخانات 1 و2 و4 و8.

1. اكتب العدد وتحته قيمة كل موضع: 1 1 0 1 فوق 8 4 2 1.
2. انظر ماذا في كل خانة: 1 في خانة الـ8، و1 في خانة الـ4، و0 في خانة الـ2، و1 في خانة الـ1.
3. تجاهل الخانات التي فيها 0 (هنا خانة الـ2).
4. اجمع: 8 + 4 + 0 + 1 = 13. إذن 1101 في الثنائي هي 13 في العشري.

ومع أرقام أكثر الأمر نفسه: 11111111 تساوي 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255، وهي أكبر قيمة تتسع لها 8 بتات. و10110110 تساوي 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182.

من العشري إلى الثنائي بالقسمة المتتالية

نقسم العدد على 2 مراراً، ونسجّل باقي كل قسمة (دائماً 0 أو 1)، حتى نصل إلى ناتج قسمة 0. والبواقي مقروءة من الأسفل إلى الأعلى هي العدد الثنائي. مثال مع 45:

• 45 ÷ 2 = 22، الباقي 1
• 22 ÷ 2 = 11، الباقي 0
• 11 ÷ 2 = 5، الباقي 1
• 5 ÷ 2 = 2، الباقي 1
• 2 ÷ 2 = 1، الباقي 0
• 1 ÷ 2 = 0، الباقي 1

عند قراءة البواقي من الأسفل إلى الأعلى نحصل على 101101. وللتحقق اجمع: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

وهناك طريقة بديلة يفضلها كثيرون: طرح قوى العدد 2 من الأكبر إلى الأصغر. مع 200: يدخل الـ128 (يبقى 72)، ويدخل الـ64 (يبقى 8)، ولا يدخل 32 و16، لكن يدخل الـ8 (يبقى 0). الخانات المستعملة هي 128 و64 و8، إذن 200 = 11001000.

السداسي عشري: ستة عشر رقماً وجدول في متناولك

بما أنه لا توجد أرقام للقيم من 10 إلى 15 تُستعمل الحروف A وB وC وD وE وF. والرقم السداسي عشري الواحد يعادل أربع بتات بالضبط («نبل»)، ولهذا هو مناسب جداً: البايت، وهو 8 بتات، يُكتب برقمين سداسيين عشريين فقط.

وللتحويل من السداسي عشري إلى العشري، اضرب كل رقم في قوة العدد 16 الخاصة بخانته ثم اجمع. مثلاً 3F = 3 × 16 + 15 = 63 و A3 = 10 × 16 + 3 = 163.

لماذا يُستخدم السداسي عشري: البايتات والألوان والعناوين

البايت 8 بتات ويمتد من 0 إلى 255 (من 00000000 إلى 11111111). كتابة البتات يدوياً بطيئة وكثيرة الأخطاء؛ وفي السداسي عشري يصبح البايت نفسه حرفين، من 00 إلى FF. وللتحويل من الثنائي إلى السداسي عشري، قسّم البتات إلى مجموعات من أربع بدءاً من اليمين واستبدل كل مجموعة برقمها من الجدول. مثال: 11010111 تنقسم إلى 1101 و0111 وهما D و7، إذن قيمتها D7. وبالعشري هي 13 × 16 + 7 = 215.

أشهر الحالات ألوان الويب. في #FF8800 ثلاثة بايتات: FF للأحمر (255)، و88 للأخضر (136)، و00 للأزرق (0). إنه برتقالي قوي: كل الأحمر وأكثر من نصف الأخضر وبلا أزرق. ويظهر السداسي عشري كذلك في عناوين الذاكرة ورموز الأخطاء ومعرّفات الشبكات.

من النص إلى الثنائي بواسطة ASCII

يخزّن الحاسوب كل حرف على شكل رقم، ويخزّن هذا الرقم على شكل بتات. في جدول ASCII الحرف A هو 65، وبالثنائي ذي 8 بتات هو 01000001. والكلمة «Hi» حرفان: H هو 72 (01001000) وi هو 105 (01101001)، فتُكتب 01001000 01101001. وكلمة «Hola» هي 72 و111 و108 و97، أي 01001000 01101111 01101100 01100001، أو بالسداسي عشري 48 6F 6C 61.

تستخدم الأداة ترميز UTF-8: للحروف الإنجليزية الأساسية يشغل كل حرف بايتاً واحداً من 8 بتات، لكن الحروف ذات العلامات وحروف اللغات الأخرى والإيموجي تشغل عدة بايتات، فتعطي أكثر من 8 بتات. مثلاً الحرف ñ هو بايتان: 11000011 10110001 (C3 B1 بالسداسي عشري).

كيف تفعل كل هذا بالأداة

يفيد محوّل «ثنائي وعشري وسداسي عشري» في التحقق من حساباتك اليدوية أو في حل الأعداد الطويلة دون أخطاء.

1. اكتب العدد في حقل أساسه: «عشري (الأساس 10)» أو «ثنائي (الأساس 2)» أو الثماني أو «سداسي عشري (الأساس 16)». وتمتلئ الحقول الثلاثة الأخرى تلقائياً.
2. إذا كان الرقم لا يناسب الأساس (2 في الثنائي مثلاً) تنبهك الأداة.
3. للنص، اكتبه في حقل «النص» وانظر «ثنائي (8 بتات لكل حرف)» والسداسي عشري بالبايتات. ويمكنك أيضاً لصق بتات في مجموعات من 8 للعودة إلى النص.
4. للأسس الغريبة استعمل «أي أساس (من 2 إلى 36)»: تختار الأساس المصدر والأساس الهدف والعدد.

الحدود: تحوّل الأعداد الصحيحة غير السالبة فقط (دون كسور أو إشارة) ولا تضع أصفاراً على اليسار عنك، فإن أردت 8 بتات ثابتة فعليك إكمالها يدوياً (13 هي 00001101). ولا يغادر شيء مما تكتبه متصفحك.

أخطاء شائعة

• قراءة البواقي بالعكس: في القسمة المتتالية الباقي الأول هو الرقم الأقصى يميناً، لا الأقصى يساراً.
• نسيان الأصفار على اليسار حين تلزم: 13 هي 1101، لكنها كبايت 00001101. وهذا مهم حين يكون الطول جزءاً من البيانات، كما في اللون أو قناع الشبكة.
• الخلط بين الحرف O والصفر، أو بين B السداسي عشري (11) والرقم 8 عند النسخ. في السداسي عشري تساوي الحروف الكبيرة والصغيرة القيمة نفسها، لكنها ليست الشيء نفسه كرقم.
• ترك البادئة 0x أو علامة # عند التحويل: هي مجرد علامات على أن العدد سداسي عشري ويجب حذفها قبل اللصق.
• ظن أن 10 في الثنائي هي عشرة: إنها اثنان. فالعدد «10» نفسه يساوي 2 أو 10 أو 16 بحسب الأساس.

تمارين محلولة للتدرب

حاول حل كل تمرين قبل النظر إلى الجواب، ثم تحقق بالأداة.

• حوّل 10110110 إلى عشري وسداسي عشري. الجواب: 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182؛ وبمجموعات من أربع، 1011 0110 = B6.
• حوّل 200 إلى ثنائي وسداسي عشري. الجواب: 11001000 وC8 (12 × 16 + 8 = 200).
• حوّل 7F إلى ثنائي. الجواب: 7 = 0111 وF = 1111، إذن 01111111، وهي بالعشري 127.
• اكتب «OK» بالثنائي. الجواب: O هو 79 وK هو 75، أي 01001111 01001011.

الأسئلة الشائعة