什麼是位值系統
在十進位數 4,095 中，4 的值並不是 4，而是 4,000，因為它在千位。每個位置都會把數字乘上 10 的次方（1、10、100、1,000……）。這就是位值系統，而「基數」就是使用的不同數字的個數：十進位是十個。
二進位的原理一樣，只是基數是 2：只有 0 和 1，而且每個位置的值都是前一位的兩倍。十六進位的基數是 16：十六個數字是 0 到 9 加上字母 A 到 F，每個位置的值是前一位的 16 倍。電腦使用二進位，是因為電路只需要分辨兩種狀態（關和開），而十六進位則是把這些位元寫短的一種方式。
| 位置（由右到左） | 二進位的值 | 十六進位的值 |
|---|---|---|
| 第 1 位 | 1 | 1 |
| 第 2 位 | 2 | 16 |
| 第 3 位 | 4 | 256 |
| 第 4 位 | 8 | 4,096 |
| 第 5 位 | 16 | 65,536 |
| 第 6 位 | 32 | 1,048,576 |
| 第 7 位 | 64 | 16,777,216 |
| 第 8 位 | 128 | 268,435,456 |
手算：二進位轉十進位
把每個數字配上它所在位置的值，然後只把有 1 的位置加起來。以 1101 為例：由右到左，各位置的值是 1、2、4 和 8。
- 寫下這個數字，並在下面寫出每個位置的值：1 1 0 1 的下面是 8 4 2 1。
- 看看每個位置上是什麼：8 的位置是 1，4 的位置是 1，2 的位置是 0，1 的位置是 1。
- 忽略是 0 的位置（這裡是 2 的位置）。
- 相加：8 + 4 + 0 + 1 = 13。所以二進位的 1101 就是十進位的 13。
位數更多時也是一樣的：11111111 是 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255，這是 8 位元能容納的最大值。而 10110110 是 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182。
十進位轉二進位：連續除以 2
把這個數字一次又一次地除以 2，並記下每次除法的餘數（一定是 0 或 1），直到商為 0。把餘數由下往上讀，就是二進位數。以 45 為例：
- 45 ÷ 2 = 22，餘數 1
- 22 ÷ 2 = 11，餘數 0
- 11 ÷ 2 = 5，餘數 1
- 5 ÷ 2 = 2，餘數 1
- 2 ÷ 2 = 1，餘數 0
- 1 ÷ 2 = 0，餘數 1
由下往上讀餘數，得到 101101。要驗算的話，把它加起來：32 + 8 + 4 + 1 = 45。
還有一種很多人偏好的方法：由大到小依序減去 2 的次方。以 200 為例：128 放得下（剩 72），64 放得下（剩 8），32、16 放不下，但 8 放得下（剩 0）。用到的位置是 128、64 和 8，所以 200 = 11001000。
十六進位：十六個數字與一張隨手可查的對照表
因為 10 到 15 沒有對應的數字，所以用字母 A、B、C、D、E 和 F 來表示。一個十六進位數字剛好等於四個位元（一個「半位元組」，nibble），這就是它這麼方便的原因：一個位元組有 8 個位元，只要兩個十六進位數字就能寫出來。
要把十六進位換成十進位，把每個數字乘上它所在位置的 16 的次方，再相加。例如，3F = 3 × 16 + 15 = 63，A3 = 10 × 16 + 3 = 163。
| 十進位 | 二進位（4 位元） | 八進位 | 十六進位 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
為什麼要用十六進位：位元組、顏色與位址
1 個位元組是 8 個位元，範圍從 0 到 255（00000000 到 11111111）。手寫位元既慢又容易出錯；用十六進位的話，同一個位元組只要兩個字元，從 00 到 FF。要把二進位換成十六進位，從右邊起每四個位元分成一組，再把每一組換成對照表中的數字。例如：11010111 分成 1101 和 0111，也就是 D 和 7，所以是 D7。換成十進位是 13 × 16 + 7 = 215。
最廣為人知的例子是網頁顏色。在 #FF8800 中有三個位元組：FF 是紅色（255），88 是綠色（136），00 是藍色（0）。這是一種鮮豔的橘色：紅色全滿、綠色略多於一半、沒有藍色。十六進位也會出現在記憶體位址、錯誤代碼和網路識別碼中。
用 ASCII 把文字換成二進位
電腦把每個字母存成一個數字，再把這個數字存成位元。在 ASCII 表中，A 是 65，8 位元的二進位是 01000001。「Hi」這個詞有兩個字母：H 是 72（01001000），i 是 105（01101001），所以寫成 01001000 01101001。「Hola」則是 72、111、108 和 97，也就是 01001000 01101111 01101100 01100001，用十六進位寫是 48 6F 6C 61。
這個工具使用 UTF-8 編碼：基本的英文字母每個字元佔 1 個 8 位元的位元組，但 ñ、帶重音符號的字母或表情符號會佔好幾個位元組，因此超過 8 位元。例如 ñ 是兩個位元組：11000011 10110001（十六進位為 C3 B1）。
如何用工具完成這一切
「二進位、十進位與十六進位」換算器，可以用來驗算你的手算結果，或在算很長的數字時避免出錯。
- 在對應進位的欄位輸入數字：「十進位（基數 10）」、「二進位（基數 2）」、八進位或「十六進位（基數 16）」。其他三個欄位會自動填好。
- 如果輸入的數字不屬於該進位（例如二進位中出現 2），工具會提醒你。
- 若要轉換文字，請在「文字」欄位輸入，就能看到「二進位（每個字元 8 位元）」以及依位元組顯示的十六進位。你也可以貼上以 8 位元為一組的位元，換回文字。
- 遇到特殊的進位，請使用「任意進位（2 到 36）」：選擇來源進位、目標進位，再輸入數字。
限制：只能換算非負整數（不含小數或正負號），而且不會替你在左邊補 0，所以如果你想要固定 8 位元，需要自己補齊（13 是 00001101）。你輸入的內容都不會離開你的瀏覽器。
常見錯誤
- 餘數讀反了：在連續除法中，第一個餘數是最右邊的數字，不是最左邊的。
- 該補的 0 沒補：13 是 1101，但以一個位元組來看是 00001101。當長度本身就是資料的一部分時（例如顏色或網路遮罩），這一點很重要。
- 複製時把字母 O 當成數字 0，或把十六進位的 B（11）當成 8。十六進位的字母大小寫的值相同，但字母不等於數字。
- 換算時把 0x 前綴或 # 符號留著：它們只是標示這個數是十六進位，貼上之前要先拿掉。
- 以為二進位的 10 是十：它其實是二。同一個「10」，在不同的進位中分別代表 2、10 或 16。
附解答的練習題
先試著自己解每一題，再看答案，最後用工具驗算。
- 把 10110110 換成十進位和十六進位。答案：128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182；每四個一組，1011 0110 = B6。
- 把 200 換成二進位和十六進位。答案：11001000 和 C8（12 × 16 + 8 = 200）。
- 把 7F 換成二進位。答案：7 = 0111，F = 1111，所以是 01111111，換成十進位是 127。
- 把「OK」寫成二進位。答案：O 是 79，K 是 75，也就是 01001111 01001011。
常見問題
怎麼把二進位的 1101 換成十進位？
把有 1 的位置的值加起來：8 + 4 + 1 = 13。從右數起第二位是 0，所以 2 不用加。
255 的二進位和十六進位是多少？
255 的二進位是 11111111，十六進位是 FF。這是 8 位元的一個位元組所能容納的最大值。
十六進位為什麼要用字母？
因為它需要十六個不同的符號，而十進位只提供十個（0 到 9）。所以 A 代表 10、B 代表 11、C 代表 12、D 代表 13、E 代表 14、F 代表 15。
8 個位元可以表示多少個不同的數字？
256 個，從 0 到 255。一般來說，n 個位元可以表示 2 的 n 次方個值。
這個工具能換算負數或小數嗎？
不行，只支援非負整數。文字使用 UTF-8，所以帶重音符號的字母和表情符號會超過 8 位元。