Binari, decimal i hexadecimal: com passar de l'un a l'altre

Què és un sistema posicional

En el nombre decimal 4.095 el 4 no val 4: val 4.000, perquè és al lloc dels milers. Cada posició multiplica el dígit per una potència de 10 (1, 10, 100, 1.000…). Aquest és el sistema posicional, i la base és la quantitat de dígits diferents que es fan servir: deu en el decimal.

El binari funciona igual, però amb base 2: només existeixen el 0 i l'1, i cada lloc val el doble que l'anterior. L'hexadecimal fa servir base 16: els setze dígits són del 0 al 9 i les lletres de la A a la F, i cada lloc val 16 vegades l'anterior. Els ordinadors treballen en binari perquè un circuit només ha de distingir dos estats (apagat i encès), i l'hexadecimal és una manera curta d'escriure aquests bits.

De binari a decimal, a mà

S'escriu cada dígit amb el valor del seu lloc i se sumen només els llocs on hi ha un 1. Exemple amb 1101: de dreta a esquerra els llocs valen 1, 2, 4 i 8.

1. Escriu el número i a sota el valor de cada posició: 1 1 0 1 sobre 8 4 2 1.
2. Fixa't en què hi ha a cada lloc: un 1 al del 8, un 1 al del 4, un 0 al del 2 i un 1 al de l'1.
3. Ignora els llocs que tenen un 0 (aquí, el del 2).
4. Suma: 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Per tant, 1101 en binari és 13 en decimal.

Amb més dígits és el mateix: 11111111 és 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, el valor més gran que cap en 8 bits. I 10110110 és 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182.

De decimal a binari, per divisions successives

Es divideix el número per 2 una vegada i una altra, anotant el residu de cada divisió (sempre 0 o 1), fins a arribar a quocient 0. Els residus, llegits de baix cap amunt, són el número binari. Exemple amb 45:

• 45 ÷ 2 = 22, residu 1
• 22 ÷ 2 = 11, residu 0
• 11 ÷ 2 = 5, residu 1
• 5 ÷ 2 = 2, residu 1
• 2 ÷ 2 = 1, residu 0
• 1 ÷ 2 = 0, residu 1

Llegint els residus de baix cap amunt queda 101101. Per comprovar-ho, suma: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

Hi ha un mètode alternatiu que molts prefereixen: restar potències de 2 de la més gran a la més petita. Per a 200: hi entra el 128 (queda 72), hi entra el 64 (queda 8), no hi entren 32 ni 16, però sí el 8 (queda 0). Els llocs utilitzats són 128, 64 i 8, de manera que 200 = 11001000.

Hexadecimal: setze dígits i una taula per tenir a mà

Com que no existeixen dígits per al 10 fins al 15, es fan servir les lletres A, B, C, D, E i F. Un dígit hexadecimal equival exactament a quatre bits (un «nibble»), i per això convé tant: un byte, de 8 bits, s'escriu amb només dos dígits hexadecimals.

Per passar d'hexadecimal a decimal, multiplica cada dígit per la potència de 16 del seu lloc i suma. Per exemple, 3F = 3 × 16 + 15 = 63 i A3 = 10 × 16 + 3 = 163.

Per què es fa servir l'hexadecimal: bytes, colors i adreces

Un byte són 8 bits i va de 0 a 255 (00000000 a 11111111). Escriure bits a mà és lent i propens a errors; en hexadecimal el mateix byte són dos caràcters, de 00 a FF. Per passar de binari a hexadecimal, separa els bits en grups de quatre des de la dreta i substitueix cada grup pel seu dígit de la taula. Exemple: 11010111 es divideix en 1101 i 0111, que són D i 7, així que val D7. Com a decimal és 13 × 16 + 7 = 215.

El cas més conegut són els colors web. A #FF8800 hi ha tres bytes: FF per al vermell (255), 88 per al verd (136) i 00 per al blau (0). És un taronja intens: tot el vermell, una mica més de la meitat del verd i res de blau. L'hexadecimal també apareix en adreces de memòria, en codis d'error i en identificadors de xarxa.

De text a binari amb ASCII

Un ordinador desa cada lletra com un número, i aquest número com a bits. A la taula ASCII la A és 65, que en binari de 8 bits és 01000001. La paraula «Hi» són dues lletres: H és 72 (01001000) i i és 105 (01101001), així que s'escriu 01001000 01101001. Amb «Hola» són 72, 111, 108 i 97, és a dir 01001000 01101111 01101100 01100001, o en hexadecimal 48 6F 6C 61.

L'eina fa servir la codificació UTF-8: per a lletres bàsiques de l'anglès cada caràcter ocupa un byte de 8 bits, però una ñ, una lletra amb accent o un emoji ocupen diversos bytes, per la qual cosa donen més de 8 bits. Per exemple, la ñ són dos bytes: 11000011 10110001 (C3 B1 en hexadecimal).

Com fer tot això amb l'eina

El convertidor «Binari, decimal i hexadecimal» serveix per comprovar els teus càlculs a mà o per resoldre números llargs sense errors.

1. Escriu el número al camp de la seva base: «Decimal (base 10)», «Binari (base 2)», octal o «Hexadecimal (base 16)». Els altres tres s'omplen sols.
2. Si el dígit no correspon a la base (un 2 en binari, per exemple), l'eina t'ho avisa.
3. Per a text, escriu-lo al camp «Text» i mira «Binari (8 bits per caràcter)» i l'hexadecimal per bytes. També pots enganxar bits en grups de 8 per tornar al text.
4. Per a bases estranyes, fes servir «Qualsevol base (de 2 a 36)»: tries la base d'origen, la de destinació i el número.

Els límits: només converteix enters no negatius (sense decimals ni signe) i no posa zeros a l'esquerra per tu, així que si vols 8 bits fixos has d'omplir-ho a mà (13 és 00001101). Res del que escrius surt del teu navegador.

Errors comuns

• Llegir els residus al revés: en les divisions successives el primer residu és el dígit de més a la dreta, no el de més a l'esquerra.
• Oblidar els zeros a l'esquerra quan fan falta: 13 són 1101, però com a byte són 00001101. Importa quan la longitud és part de la dada, com en un color o en una màscara de xarxa.
• Confondre la lletra O amb el zero o la B hexadecimal (11) amb un 8 en copiar. En hexadecimal les lletres valen igual en majúscula i en minúscula, però no són el mateix que un dígit.
• Deixar el prefix 0x o el signe # en convertir: són només marques que el número és hexadecimal i cal treure'ls abans d'enganxar.
• Pensar que 10 en binari és deu: és dos. El mateix «10» val 2, 10 o 16 segons la base.

Exercicis resolts per practicar

Intenta resoldre cada un abans de mirar la resposta i comprova-ho després amb l'eina.

• Passa 10110110 a decimal i a hexadecimal. Resposta: 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182; en grups de quatre, 1011 0110 = B6.
• Passa 200 a binari i a hexadecimal. Resposta: 11001000 i C8 (12 × 16 + 8 = 200).
• Passa 7F a binari. Resposta: 7 = 0111 i F = 1111, per tant 01111111, que en decimal és 127.
• Escriu «OK» en binari. Resposta: O és 79 i K és 75, és a dir 01001111 01001011.

Preguntes freqüents