โยนเหรียญและทอยลูกเต๋า: วิธีคำนวณความน่าจะเป็น

เหรียญที่ยุติธรรมและเหตุการณ์อิสระ

เหรียญที่ยุติธรรมมีความน่าจะเป็น 1/2 (50 %) ที่จะออกหัว และ 1/2 ที่จะออกก้อย สิ่งสำคัญคือการโยนแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน เหรียญไม่มีความจำ ถ้าออกหัวห้าครั้งติดกัน การโยนครั้งที่หกก็ยังเป็น 50 ต่อ 50

การเชื่อว่าตรงกันข้ามเรียกว่าความเข้าใจผิดของนักพนัน (gambler's fallacy) คือคิดว่า «ถึงตาก้อยแล้ว» สิ่งที่เป็นจริงคือ หากดูล่วงหน้า การออกหัวห้าครั้งติดกันเป็นเหตุการณ์ที่เกิดได้ยาก (3.125 %) แต่เมื่อเกิดขึ้นไปแล้ว การโยนทั้งห้าครั้งนั้นเป็นอดีต และไม่ส่งผลต่อครั้งต่อไป

หัวติดกันกี่ครั้ง: กฎ 1/2^n

เนื่องจากการโยนแต่ละครั้งเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นจึงคูณกัน สำหรับหัวติดกัน n ครั้ง (หรือก้อย n ครั้ง หรือลำดับใดก็ตามที่เลือกไว้ล่วงหน้า) ความน่าจะเป็นคือ 1/2 คูณตัวเอง n ครั้ง นั่นคือ 1/2^n

ระวังกับดักที่พบบ่อย: 1/32 คือความน่าจะเป็นที่การโยนห้าครั้งแรกเป็นหัวทั้งหมด แต่ถ้าโยนหลายครั้ง การเกิดสถิติติดกันห้าครั้งในช่วงใดช่วงหนึ่งเป็นเรื่องปกติ ในการโยน 100 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะมีช่วงที่ออกด้านเดียวกันอย่างน้อย 5 ครั้งติด (หัวหรือก้อย) อยู่ที่ราว 97 % และอย่างน้อย 6 ครั้งติดอยู่ที่ราว 81 % ช่วงที่ยาวในชุดข้อมูลที่ยาวไม่ได้แปลว่าเหรียญถูกโกง

ลูกเต๋าลูกเดียวและโอกาสได้อย่างน้อยหนึ่งครั้งเป็นเลข 6

ลูกเต๋าหกหน้าที่ยุติธรรมให้แต่ละหน้าด้วยความน่าจะเป็น 1/6 ประมาณ 16.7 % ถ้าจะหาโอกาสได้เลข 6 อย่างน้อยหนึ่งครั้งในการทอยหลายครั้ง ควรคำนวณด้านตรงข้าม คือความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้ 6 เลยในการทอยทั้งหมด ซึ่งเท่ากับ (5/6) ยกกำลังจำนวนครั้งที่ทอย แล้วลบออกจาก 1

ถ้าทอย 4 ครั้ง: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1,296 = 0.5177 หรือประมาณ 51.8 % นั่นคือ ทอยลูกเต๋าสี่ครั้งมีโอกาสได้ 6 มากกว่าไม่ได้เล็กน้อย

สังเกตว่าทอย 6 ครั้งก็ยังไม่ถึง 100 % โอกาส 1/6 หกครั้งไม่ได้รวมเป็นความแน่นอน การทอยแต่ละครั้งที่เพิ่มขึ้นช่วยลดความน่าจะเป็นที่จะยังไม่ได้ 6 ลงเพียงเล็กน้อย

ลูกเต๋าสองลูก: ทำไมผลรวม 7 จึงเกิดบ่อยที่สุด

ลูกเต๋าหกหน้าสองลูกมี 6 × 6 = 36 แบบที่มีโอกาสเท่ากัน ผลรวมแต่ละค่าไม่ได้มีโอกาสเท่ากัน เพราะบางค่าเกิดได้หลายวิธีกว่า 2 เกิดได้ด้วย 1+1 เท่านั้น ส่วน 7 เกิดได้ด้วย 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 และ 6+1 รวมหกวิธี

ข้อมูลอื่นที่ได้จากตารางเดียวกัน: ได้ 6 สองลูกคือ 1/36 (ประมาณ 2.8 %) ได้เลขเหมือนกันสองลูก (ดับเบิล) คือ 6/36 = 1/6 และได้ 6 อย่างน้อยหนึ่งลูกในการทอยลูกเต๋าสองลูกคือ 11/36 (ประมาณ 30.6 %) เท่ากับทอยลูกเต๋าลูกเดียวสองครั้ง การทอยลูกเต๋า 12 หน้าไม่เหมือนกับการทอย 6 หน้าสองลูก: d12 ให้ 7 ด้วย 1/12 (ประมาณ 8.3 %) ในขณะที่ 2d6 ให้ด้วย 1/6

ลูกเต๋าเล่นเกม: d4, d6, d8, d10, d12 และ d20

ตัวเลขหลัง «d» คือจำนวนหน้า d20 ให้ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 20 ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน คือหน้าละ 5 % ค่าเฉลี่ยของลูกเต๋า n หน้าที่มีเลขตั้งแต่ 1 ถึง n คือ (n + 1) / 2: 3.5 สำหรับ d6 และ 10.5 สำหรับ d20

เกมเล่นตามบทบาทหลายเกมใช้กฎได้เปรียบและเสียเปรียบ: ทอย d20 สองลูกแล้วเลือกลูกที่มากกว่า (ได้เปรียบ) หรือน้อยกว่า (เสียเปรียบ) ผลคำนวณจาก 400 แบบที่เป็นไปได้ เป็นดังนี้

ความได้เปรียบไม่ได้บวก 10 แต้ม: ถ้าต้องการ 11 ขึ้นไป จะเพิ่มจาก 50 % เป็น 75 % ถ้าต้องการ 20 จะเพิ่มจาก 5 % เป็น 9.75 % ผลจะมากเมื่อเป้าหมายอยู่กลางสเกล นอกจากนี้เครื่องมือไม่ได้ใช้กฎของเกมใด ๆ ถ้าจะทำแบบนี้ ให้ทอย d20 สองลูกแล้วเลือกลูกที่มากกว่าหรือน้อยกว่าเอง

วิธีใช้ โยนเหรียญ ทอยลูกเต๋า และสุ่มตัวเลข

1. ใน «โยนเหรียญ» เลือกจำนวนเหรียญที่ต้องการ (สูงสุด 10) แล้วกด «โยนเหรียญ» หรือกดปุ่ม Space จะแสดงผลของแต่ละเหรียญ ผลสรุป และด้านล่างเป็นการนับสะสม ใช้ «รีเซ็ตการนับ» เพื่อเริ่มใหม่
2. ใน «ทอยลูกเต๋า» เลือกจำนวน (1 ถึง 10) และจำนวนหน้า (4, 6, 8, 10, 12, 20 หรือ 100) แล้วกด «ทอย» จะเห็นลูกเต๋าแต่ละลูก ผลรวม และประวัติการทอยที่ล้างได้ด้วย «ล้างประวัติ»
3. ใน «สุ่มตัวเลข» กำหนดค่าต่ำสุด ค่าสูงสุด (รวมทั้งสองค่า) และจำนวน ถ้าไม่ต้องการให้ซ้ำ ให้เปิด «ไม่ให้ตัวเลขซ้ำกัน» แล้วกด «สุ่ม»
4. เพื่อตรวจสอบตารางในคู่มือนี้ ให้โยนเหรียญ 10 เหรียญหลายครั้ง ผลที่พบบ่อยที่สุดคือหัว 5 ครั้ง (24.6 % ของการโยน) และหัว 4 ถึง 6 ครั้งรวมประมาณ 65.6 % ส่วนผลที่ได้หัว 0 หรือ 10 ครั้งเกิดประมาณ 1 ใน 512 ครั้งของการโยน

ทุกอย่างคำนวณบนอุปกรณ์ของคุณ โดยไม่ส่งอะไรไปยังเซิร์ฟเวอร์ การนับของเหรียญและประวัติลูกเต๋าจะหายไปเมื่อโหลดหน้าใหม่

การตัดสินใจอย่างยุติธรรม

ถ้ามีสองตัวเลือก โยนเหรียญง่ายที่สุด ถ้ามีมากกว่านั้น ใช้ลูกเต๋าหรือตัวเลขสุ่มโดยกำหนดตัวเลือกหนึ่งต่อหนึ่งตัวเลข เคล็ดลับที่มีประโยชน์: ถ้ามีสี่ตัวเลือก ให้โยนเหรียญสองครั้ง (หัว-หัว, หัว-ก้อย, ก้อย-หัว, ก้อย-ก้อย) หรือใช้ d4 ถ้ามีห้าตัวเลือกขึ้นไป ควรใช้ตัวเลขสุ่มในช่วงที่พอดี

ควรให้การจับสลากเปิดเผย: ให้ทุกคนเห็นหน้าจอ และตกลงกติกาก่อนทอย (ด้านไหนคือตัวเลือกไหน และนับครั้งแรก) การเปลี่ยนใจหลังเห็นผลทำให้ไม่ยุติธรรมเลย สำหรับการจับสลากที่มีผลทางกฎหมายหรือต้องมีผู้รับรอง เครื่องมือออนไลน์ไม่เพียงพอ

คำว่า «สุ่ม» ในเบราว์เซอร์หมายถึงอะไร

คอมพิวเตอร์ไม่ได้ทอยอะไรจริง แต่ใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่ม สำหรับ «ทอยลูกเต๋า» และ «สุ่มตัวเลข» เว็บไซต์ใช้ตัวสร้างแบบเข้ารหัสของเบราว์เซอร์ ซึ่งออกแบบมาไม่ให้คาดเดาผลได้ และให้ทุกตัวเลขในช่วงมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ส่วนเหรียญใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มของเบราว์เซอร์ โดยแต่ละด้านมี 50 %

คำเตือนตามตรงสองข้อ ข้อแรก ในเหรียญ ภาพเคลื่อนไหวเป็นเพียงภาพ ผลถูกกำหนดก่อนที่เหรียญจะหมุน ข้อที่สอง เมื่อทอยไม่กี่ครั้ง การที่ผลดูไม่เท่ากันเป็นเรื่องปกติ ในการโยนเหรียญ 100 ครั้ง ปกติจะได้หัวระหว่าง 40 ถึง 60 ครั้ง (ราว 96 % ของครั้งทั้งหมด) ไม่ใช่ 50 พอดี

คำถามที่พบบ่อย