Reilu kolikko ja riippumattomat tapahtumat
Reilun kolikon todennäköisyys tulla kruunaksi on 1/2 (50 %) ja klaavaksi 1/2. Tärkeintä on, että jokainen heitto on riippumaton: kolikolla ei ole muistia. Jos viisi kruunaa on tullut peräkkäin, kuudes heitto on yhä 50–50.
Päinvastaiseen uskomista kutsutaan pelurin harhaksi: ajatellaan, että klaavan «vuoro on nyt». Sen sijaan on totta, että viisi kruunaa peräkkäin on etukäteen katsottuna epätodennäköinen tapahtuma (3,125 %). Mutta kun ne ovat jo tapahtuneet, nuo viisi heittoa ovat menneisyyttä eivätkä vaikuta seuraavaan.
Montako kruunaa peräkkäin: sääntö 1/2^n
Koska heitot ovat riippumattomia, todennäköisyydet kerrotaan keskenään. n kruunan peräkkäin (tai n klaavan tai minkä tahansa etukäteen valitsemasi tietyn jonon) todennäköisyys on 1/2 kerrottuna itsellään n kertaa eli 1/2^n.
| Heittoja peräkkäin | Lasku | Todennäköisyys |
|---|---|---|
| 1 kruunu | 1/2 | 50 % |
| 2 kruunua | 1/4 | 25 % |
| 3 kruunua | 1/8 | 12,5 % |
| 4 kruunua | 1/16 | 6,25 % |
| 5 kruunua | 1/32 | 3,125 % |
| 6 kruunua | 1/64 | 1,5625 % |
| 8 kruunua | 1/256 | noin 0,39 % |
| 10 kruunua | 1/1 024 | noin 0,098 % |
Varo yleistä ansaa: 1/32 on todennäköisyys, että viisi ensimmäistä heittoa ovat kruunuja, mutta jos heität monta kertaa, viiden samanlaisen putki jossain vaiheessa on tavallista. 100 heiton aikana todennäköisyys, että jossain kohdassa esiintyy vähintään 5:n putki samaa puolta (kruunuja tai klaavoja), on noin 97 %, ja vähintään 6:n putken noin 81 %. Pitkä putki pitkässä sarjassa ei ole merkki siitä, että kolikko olisi väärennetty.
Yksi noppa ja todennäköisyys saada vähintään yksi kuutonen
Reilu kuusisivuinen noppa antaa jokaisen luvun todennäköisyydellä 1/6, noin 16,7 %. Jotta tietäisit mahdollisuuden saada vähintään yksi kuutonen usealla heitolla, kannattaa laskea päinvastainen: todennäköisyys, ettei yksikään heitto anna kuutosta, joka on (5/6) potenssiin heittojen määrä, ja vähentää se luvusta 1.
Neljällä heitolla: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1 296 = 0,5177 eli noin 51,8 %. Eli kun heität noppaa neljä kertaa, kuutosen saaminen on hieman todennäköisempää kuin sen saamatta jääminen.
| Nopan heittoja | Todennäköisyys saada vähintään yksi kuutonen |
|---|---|
| 1 | noin 16,7 % |
| 2 | noin 30,6 % |
| 3 | noin 42,1 % |
| 4 | noin 51,8 % |
| 6 | noin 66,5 % |
| 8 | noin 76,7 % |
Huomaa, että 6 heitolla et pääse 100 %:iin: kuusi 1/6:n mahdollisuutta ei muodosta varmuutta. Jokainen uusi heitto vain pienentää hieman todennäköisyyttä pysyä ilman kuutosta.
Kaksi noppaa: miksi 7 on yleisin summa
Kahdella kuusisivuisella nopalla on 6 × 6 = 36 yhtä todennäköistä yhdistelmää. Summat eivät ole yhtä todennäköisiä, koska jotkin voi muodostaa useammalla tavalla. Kakkonen tulee vain yhdistelmällä 1+1; seitsemän tulee yhdistelmillä 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 ja 6+1, kuudella eri tavalla.
| Summa | Yhdistelmiä | Todennäköisyys |
|---|---|---|
| 2 | 1 / 36 | noin 2,8 % |
| 3 | 2 / 36 | noin 5,6 % |
| 4 | 3 / 36 | noin 8,3 % |
| 5 | 4 / 36 | noin 11,1 % |
| 6 | 5 / 36 | noin 13,9 % |
| 7 | 6 / 36 | noin 16,7 % |
| 8 | 5 / 36 | noin 13,9 % |
| 9 | 4 / 36 | noin 11,1 % |
| 10 | 3 / 36 | noin 8,3 % |
| 11 | 2 / 36 | noin 5,6 % |
| 12 | 1 / 36 | noin 2,8 % |
Muita samasta taulukosta saatavia tietoja: kaksi kuutosta on 1/36 (noin 2,8 %), kaksi samaa lukua (tuplat) on 6/36 = 1/6, ja vähintään yksi kuutonen kahden nopan heitossa on 11/36 (noin 30,6 %), yhtä paljon kuin nopan heittäminen kahdesti. 12-sivuisen nopan heittäminen ei ole sama asia kuin kahden 6-sivuisen: d12 antaa seitsemän todennäköisyydellä 1/12 (noin 8,3 %), kun taas 2d6 antaa sen todennäköisyydellä 1/6.
Roolipelinopat: d4, d6, d8, d10, d12 ja d20
Kirjaimen «d» jälkeinen luku on sivujen määrä: d20 antaa luvun 1–20 yhtä todennäköisesti, eli 5 % kullekin. Nopan, jolla on n sivua ja joka antaa luvun 1:stä n:ään, keskiarvo on (n + 1) / 2: 3,5 d6:lle ja 10,5 d20:lle.
Monet roolipelit käyttävät etulyönti- ja takaiskusääntöä: heität kaksi d20:tä ja otat suuremman (etulyöntiasema) tai pienemmän (heikennetty asema). Laskut 400 mahdollisen yhdistelmän pohjalta ovat nämä:
| Tavoite | Yksi d20 | Etulyönnillä | Heikennettynä |
|---|---|---|---|
| Saada 11 tai enemmän | 50 % | 75 % | 25 % |
| Saada 15 tai enemmän | 30 % | 51 % | 9 % |
| Saada 20 | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Tuloksen keskiarvo | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
Etulyönti ei lisää 10 pistettä: jos tarvitset 11 tai enemmän, todennäköisyys nousee 50 %:sta 75 %:iin; kakkosen kohdalla 5 %:sta 9,75 %:iin. Vaikutus on suurin, kun tavoite on asteikon keskivaiheilla. Lisäksi työkalu ei sovella mitään pelisääntöä, joten tätä varten heitä kaksi d20:tä ja ota itse suurempi tai pienempi.
Näin käytät Kolikonheittoa, Nopanheittoa ja Satunnaislukua
- Kolikonheitossa valitse kolikoiden määrä (enintään 10) ja paina «Heitä kolikko» tai paina välilyöntiä. Näet jokaisen kolikon, tiivistetyn tuloksen ja alla kertyneen laskurin. «Nollaa laskuri» aloittaa alusta.
- Nopanheitossa valitse määrä (1–10) ja sivut (4, 6, 8, 10, 12, 20 tai 100) ja paina «Heitä». Näet jokaisen nopan, summan ja heittohistorian, jonka voit tyhjentää kohdasta «Tyhjennä historia».
- Satunnaisluvussa määritä pienin ja suurin luku (molemmat mukaan lukien) sekä määrä. Jos et halua toistoja, ota käyttöön «Ei toistuvia lukuja» ja paina «Arvo».
- Tämän oppaan taulukoiden tarkistamiseksi heitä 10 kolikkoa monta kertaa: yleisin tulos on 5 kruunua (24,6 % heitoista), ja 4–6 kruunua yhteensä noin 65,6 %. 0 tai 10 kruunua nähdään noin kerran 512 heitosta.
Kaikki lasketaan laitteellasi, mitään ei lähetetä palvelimelle. Kolikon laskuri ja nopan historia katoavat, kun lataat sivun uudelleen.
Päättäminen reilusti
Kahdelle vaihtoehdolle kruuna vai klaava on yksinkertaisin. Useammalle käytä noppaa tai satunnaislukua ja anna jokaiselle vaihtoehdolle oma luku. Hyödyllinen niksi: jos vaihtoehtoja on neljä, heitä kolikkoa kahdesti (KK, KL, LK, LL) tai d4:ää. Jos vaihtoehtoja on viisi tai enemmän, käytä mieluummin satunnaislukua tarkalla vaihteluvälillä.
Arvonnan kannattaa olla näkyvä: kaikkien pitää nähdä näyttö ja säännöistä pitää sopia ennen heittoa (kumpi puoli on mikäkin vaihtoehto ja että ensimmäinen heitto pätee). Mielen muuttaminen tuloksen nähtyään vie kaiken reiluuden. Oikeudellisia seurauksia tai notaarin läsnäoloa vaativiin arvontoihin verkkotyökalu ei riitä.
Mitä satunnainen tarkoittaa selaimessa
Tietokone ei heitä mitään: se käyttää satunnaislukugeneraattoria. Nopanheitossa ja Satunnaisluvussa sivusto käyttää selaimen kryptografista generaattoria, joka on tehty niin, ettei tuloksia voi ennustaa ja että jokaisella vaihteluvälin luvulla on sama todennäköisyys. Kolikko käyttää selaimen satunnaislukugeneraattoria niin, että kummallakin puolella on 50 %.
Kaksi rehellistä varoitusta. Ensinnäkin kolikon animaatio on vain visuaalinen: tulos ratkaistaan ennen pyörimistä. Toiseksi vähillä heitoilla on normaalia, että tulos näyttää epätasaiselta: 100 kolikonheitossa tavallista on 40–60 kruunua (noin 96 % kerroista), ei tasan 50.
Usein kysytyt kysymykset
Jos viisi kruunaa on tullut peräkkäin, onko nyt todennäköisempää, että tulee klaava?
Ei. Jokainen heitto on riippumaton, joten kuudennella heitolla on taas 50 % kruunaa ja 50 % klaavaa. Päinvastaiseen uskominen on pelurin harha.
Mikä on todennäköisyys saada 3 kruunaa peräkkäin?
Se on 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8 eli 12,5 %. Viidelle kruunalle peräkkäin se on 1/32, 3,125 %.
Miksi kahdella nopalla 7 tulee useammin kuin 12?
Koska seitsemän muodostuu kuudella tavalla (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) 36 yhdistelmästä, 16,7 %, ja kaksitoista vain yhdistelmällä 6+6, eli 2,8 %.
Mikä on todennäköisyys saada vähintään yksi kuutonen nopan neljällä heitolla?
1 − (5/6)^4, mikä on noin 51,8 %. Se lasketaan vähentämällä luvusta 1 todennäköisyys, ettei yksikään neljästä heitosta anna kuutosta.
Ovatko kolikon ja nopan tulokset todella satunnaisia?
Ne tuotetaan selaimen satunnaislukugeneraattorilla ilman vinoumaa mihinkään puoleen. Ne sopivat päättämiseen ja pelaamiseen, mutta eivät todisteeksi viralliseen arvontaan.