سکه عادلانه و پیشامدهای مستقل
یک سکه عادلانه با احتمال 1/2 (50 درصد) شیر میآید و با احتمال 1/2 خط. نکته مهم این است که هر پرتاب مستقل است: سکه حافظه ندارد. اگر پنج شیر پشت‌سرهم آمده باشد، پرتاب ششم هم باز 50-50 است.
باور به خلاف این، «مغالطه قمارباز» نام دارد: فکر کنیم «حالا نوبت خط است». آنچه درست است این است که پنج شیر پشت‌سرهم، اگر از قبل در نظر بگیرید، پیشامدی کم‌احتمال است (3.125 درصد). اما وقتی اتفاق افتاد، آن پنج پرتاب گذشته‌اند و روی پرتاب بعدی اثری ندارند.
چند شیر پشت‌سرهم: قاعده 1/2^n
چون پرتاب‌ها مستقل‌اند، احتمال‌ها در هم ضرب میشوند. برای n شیر پشت‌سرهم (یا n خط، یا هر دنباله مشخصی که از قبل انتخاب کرده باشید) احتمال برابر 1/2 است که n بار در خودش ضرب شده، یعنی 1/2^n.
| پرتاب‌های پیاپی | محاسبه | احتمال |
|---|---|---|
| 1 شیر | 1/2 | 50 % |
| 2 شیر | 1/4 | 25 % |
| 3 شیر | 1/8 | 12.5 % |
| 4 شیر | 1/16 | 6.25 % |
| 5 شیر | 1/32 | 3.125 % |
| 6 شیر | 1/64 | 1.5625 % |
| 8 شیر | 1/256 | حدود 0.39 % |
| 10 شیر | 1/1024 | حدود 0.098 % |
مراقب یک تله رایج باشید: 1/32 احتمال این است که پنج پرتاب اول همه شیر باشند، اما اگر بارها پرتاب کنید، وجود یک رشته پنج‌تایی یکسان در جایی از آن طبیعی است. در 100 پرتاب، احتمال اینکه جایی رشته‌ای دست‌کم 5 تایی از یک طرف (شیر یا خط) ظاهر شود حدود 97 درصد است و برای دست‌کم 6 تایی حدود 81 درصد. یک رشته بلند در یک سری بلند نشانه تقلبی بودن سکه نیست.
یک تاس و احتمال آمدن دست‌کم یک 6
یک تاس عادلانه شش‌وجهی هر عدد را با احتمال 1/6، یعنی حدود 16.7 درصد، می‌دهد. برای دانستن شانس دست‌کم یک 6 در چند پرتاب، بهتر است حالت مخالف را حساب کنید: احتمال اینکه در همه پرتاب‌ها هیچ 6 نیاید که برابر (5/6) به توان تعداد پرتاب‌هاست، و آن را از 1 کم کنید.
با 4 پرتاب: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1296 = 0.5177، یعنی حدود 51.8 درصد. به بیان دیگر، اگر یک تاس را چهار بار بیندازید، آمدن یک 6 کمی محتمل‌تر از نیامدنش است.
| تعداد پرتاب یک تاس | احتمال دست‌کم یک 6 |
|---|---|
| 1 | حدود 16.7 % |
| 2 | حدود 30.6 % |
| 3 | حدود 42.1 % |
| 4 | حدود 51.8 % |
| 6 | حدود 66.5 % |
| 8 | حدود 76.7 % |
توجه کنید که با 6 پرتاب به 100 درصد نمی‌رسید: شش شانس 1/6 با هم یقین نمی‌شوند. هر پرتاب جدید فقط کمی احتمال بدون 6 ماندن را کم می‌کند.
دو تاس: چرا 7 پرتکرارترین مجموع است
با دو تاس شش‌وجهی 6 × 6 = 36 حالت هم‌احتمال وجود دارد. مجموع‌ها هم‌احتمال نیستند چون بعضی از آن‌ها به راه‌های بیشتری ساخته میشوند. عدد 2 فقط با 1+1 میآید؛ عدد 7 با 1+6، 2+5، 3+4، 4+3، 5+2 و 6+1 میآید، یعنی شش راه مختلف.
| مجموع | حالت‌ها | احتمال |
|---|---|---|
| 2 | 1 از 36 | حدود 2.8 % |
| 3 | 2 از 36 | حدود 5.6 % |
| 4 | 3 از 36 | حدود 8.3 % |
| 5 | 4 از 36 | حدود 11.1 % |
| 6 | 5 از 36 | حدود 13.9 % |
| 7 | 6 از 36 | حدود 16.7 % |
| 8 | 5 از 36 | حدود 13.9 % |
| 9 | 4 از 36 | حدود 11.1 % |
| 10 | 3 از 36 | حدود 8.3 % |
| 11 | 2 از 36 | حدود 5.6 % |
| 12 | 1 از 36 | حدود 2.8 % |
نکته‌های دیگری که از همین جدول درمی‌آید: آمدن دو شش 1/36 است (حدود 2.8 درصد)، آمدن دو عدد برابر (جفت) 6/36 = 1/6 است، و آمدن دست‌کم یک 6 در پرتاب دو تاس 11/36 است (حدود 30.6 درصد)، درست مثل دو بار انداختن یک تاس. انداختن یک تاس 12 وجهی با انداختن دو تاس 6 وجهی یکی نیست: d12 عدد 7 را با 1/12 (حدود 8.3 درصد) می‌دهد، در حالی که 2d6 آن را با 1/6 می‌دهد.
تاس‌های نقش‌آفرینی: d4، d6، d8، d10، d12 و d20
عددی که بعد از «d» میآید تعداد وجه‌هاست: یک d20 عددی از 1 تا 20 را با احتمال برابر می‌دهد، یعنی هر کدام 5 درصد. میانگین تاسی با n وجه که از 1 تا n می‌رود (n + 1) / 2 است: 3.5 برای d6 و 10.5 برای d20.
بسیاری از بازی‌های نقش‌آفرینی از قاعده مزیت و ناکامی استفاده می‌کنند: دو d20 می‌اندازید و بزرگ‌تر (مزیت) یا کوچک‌تر (ناکامی) را نگه می‌دارید. محاسبه‌ها، از 400 حالت ممکن، این‌ها هستند:
| هدف | یک d20 | با مزیت | با ناکامی |
|---|---|---|---|
| آمدن 11 یا بیشتر | 50 % | 75 % | 25 % |
| آمدن 15 یا بیشتر | 30 % | 51 % | 9 % |
| آمدن 20 | 5 % | 9.75 % | 0.25 % |
| میانگین نتیجه | 10.5 | 13.825 | 7.175 |
مزیت 10 امتیاز اضافه نمی‌کند: برای نیاز به 11 یا بیشتر، از 50 درصد به 75 درصد می‌رسد؛ برای 20، از 5 درصد به 9.75 درصد. وقتی هدف وسط مقیاس باشد اثر بیشتر است. ضمناً ابزار هیچ قاعده بازی‌ای را اعمال نمی‌کند، پس برای این کار دو d20 بیندازید و خودتان بزرگ‌تر یا کوچک‌تر را نگه دارید.
چطور از «شیر یا خط»، «تاس انداختن» و «عدد تصادفی» استفاده کنیم
- در «شیر یا خط» تعداد سکه‌ها را انتخاب کنید (تا 10) و «پرتاب سکه» را بزنید یا فاصله (Space) را فشار دهید. هر سکه، نتیجه خلاصه‌شده و، پایین، شمارش تجمعی نمایش داده میشود. با «بازنشانی شمارش» از صفر شروع می‌کنید.
- در «تاس انداختن» تعداد (از 1 تا 10) و تعداد وجه‌ها (4، 6، 8، 10، 12، 20 یا 100) را انتخاب کنید و «انداختن» را بزنید. هر تاس، مجموع و تاریخچه پرتاب‌ها را می‌بینید که با «پاک کردن تاریخچه» خالی میشود.
- در «عدد تصادفی» حداقل، حداکثر (هر دو شامل) و تعداد را مشخص کنید. اگر نمی‌خواهید عددها تکرار شوند، «بدون عدد تکراری» را فعال کنید و «تولید» را بزنید.
- برای بررسی جدول‌های این راهنما، 10 سکه را چندین بار بیندازید: رایج‌ترین حالت 5 شیر است (24.6 درصد پرتاب‌ها) و 4 تا 6 شیر روی هم حدود 65.6 درصد میشود. دیدن 0 یا 10 شیر تقریباً در هر 512 پرتاب یک بار رخ می‌دهد.
همه‌چیز روی دستگاه شما محاسبه میشود، بدون ارسال چیزی به سرور. شمارش سکه و تاریخچه تاس‌ها با بارگذاری دوباره صفحه از بین می‌رود.
تصمیمگیری عادلانه
برای دو گزینه، شیر یا خط ساده‌ترین راه است. برای گزینه‌های بیشتر از تاس یا عدد تصادفی استفاده کنید و به هر عدد یک گزینه بدهید. یک ترفند مفید: اگر چهار گزینه دارید، سکه را دو بار بیندازید (شیر-شیر، شیر-خط، خط-شیر، خط-خط) یا یک d4 بیندازید. اگر پنج گزینه یا بیشتر دارید، بهتر است یک عدد تصادفی با بازه دقیق بگیرید.
بهتر است قرعهکشی دیده شود: همه صفحه را ببینند و قاعده‌ها قبل از انداختن توافق شود (هر طرف کدام گزینه است و اینکه پرتاب اول معتبر است). عوض کردن نظر بعد از دیدن نتیجه هر عدالتی را از بین می‌برد. برای قرعه‌کشی‌هایی با پیامد حقوقی یا نیازمند سردفتر، یک ابزار آنلاین کافی نیست.
تصادفی در مرورگر یعنی چه
رایانه چیزی را نمی‌اندازد: از یک مولد عدد تصادفی استفاده می‌کند. در «تاس انداختن» و «عدد تصادفی»، سایت از مولد رمزنگاری مرورگر استفاده می‌کند که طوری ساخته شده که نتیجه‌ها قابل پیش‌بینی نباشند و هر عدد بازه احتمال برابر داشته باشد. سکه از مولد عدد تصادفی مرورگر با 50 درصد برای هر طرف استفاده می‌کند.
دو هشدار صادقانه. اول، در سکه انیمیشن فقط ظاهری است: نتیجه قبل از چرخیدن تعیین میشود. دوم، با پرتاب‌های کم طبیعی است که نتیجه ناهموار به نظر برسد: در 100 پرتاب سکه، حالت معمول بین 40 تا 60 شیر است (در حدود 96 درصد مواقع) و نه دقیقاً 50.
پرسش‌های متداول
اگر پنج شیر پشت‌سرهم آمده باشد، آیا احتمال آمدن خط الان بیشتر است؟
نه. هر پرتاب مستقل است، پس پرتاب ششم دوباره 50 درصد شیر و 50 درصد خط است. فکر کردن به خلاف این، مغالطه قمارباز است.
احتمال آمدن 3 شیر پشت‌سرهم چقدر است؟
برابر 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8 است، یعنی 12.5 درصد. برای 5 شیر پشت‌سرهم 1/32 است، یعنی 3.125 درصد.
چرا با دو تاس 7 بیشتر از 12 میآید؟
چون 7 از شش راه ساخته میشود (1+6، 2+5، 3+4، 4+3، 5+2، 6+1) از 36 حالت، یعنی 16.7 درصد، و 12 فقط با 6+6 میآید، یعنی 2.8 درصد.
احتمال آمدن دست‌کم یک 6 در 4 پرتاب یک تاس چقدر است؟
برابر 1 − (5/6)^4 است، یعنی حدود 51.8 درصد. با کم کردن احتمال نیامدن هیچ 6 در چهار پرتاب از 1 حساب میشود.
آیا نتیجه سکه و تاس واقعاً تصادفی است؟
با مولد عدد تصادفی مرورگر ساخته میشوند و به هیچ وجهی تمایل ندارند. برای تصمیمگیری و بازی مناسباند، اما نه بهعنوان سند یک قرعهکشی رسمی.