Справедливата монета и независимите събития
Справедливата монета има вероятност 1/2 (50 %) да падне ези и 1/2 да падне тура. Важното е, че всяко хвърляне е независимо: монетата няма памет. Ако са паднали пет ези поред, шестото хвърляне пак е 50 на 50.
Да вярвате обратното се нарича грешка на комарджията: мисълта, че «вече е ред на турата». Вярно е, че пет ези поред, погледнато предварително, е малко вероятно събитие (3,125 %). Но щом вече са се случили, тези пет хвърляния са минало и не влияят на следващото.
Колко ези поред: правилото 1/2^n
Тъй като хвърлянията са независими, вероятностите се умножават. За n ези поред (или n тури, или всяка конкретна последователност, която изберете предварително) вероятността е 1/2, умножено само по себе си n пъти, тоест 1/2^n.
| Хвърляния поред | Сметка | Вероятност |
|---|---|---|
| 1 ези | 1/2 | 50 % |
| 2 ези | 1/4 | 25 % |
| 3 ези | 1/8 | 12,5 % |
| 4 ези | 1/16 | 6,25 % |
| 5 ези | 1/32 | 3,125 % |
| 6 ези | 1/64 | 1,5625 % |
| 8 ези | 1/256 | около 0,39 % |
| 10 ези | 1/1024 | около 0,098 % |
Внимавайте с една честа клопка: 1/32 е вероятността първите пет хвърляния да са ези, но ако хвърляте много пъти, серия от пет еднакви в някакъв момент е нормална. При 100 хвърляния вероятността някъде да се появи серия от поне 5 от една и съща страна (ези или тури) е около 97 %, а от поне 6 около 81 %. Дълга серия в дълга поредица не е знак, че монетата е нагласена.
Един зар и вероятността да паднете поне една шестица
Справедлив зар с шест стени дава всяко число с вероятност 1/6, приблизително 16,7 %. За да знаете шанса да паднете поне една шестица при няколко хвърляния, е удобно да изчислите обратното: вероятността да не паднете нито една шестица във всички хвърляния, която е (5/6) на степен броя хвърляния, и да я извадите от 1.
При 4 хвърляния: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1296 = 0,5177, тоест приблизително 51,8 %. С други думи, ако хвърлите зар четири пъти, е малко по-вероятно да паднете шестица, отколкото да не паднете.
| Хвърляния на един зар | Вероятност за поне една шестица |
|---|---|
| 1 | около 16,7 % |
| 2 | около 30,6 % |
| 3 | около 42,1 % |
| 4 | около 51,8 % |
| 6 | около 66,5 % |
| 8 | около 76,7 % |
Забележете, че при 6 хвърляния не стигате до 100 %: шест шанса от по 1/6 не правят сигурност. Всяко ново хвърляне само намалява малко вероятността все още да няма шестица.
Два зара: защо 7 е най-честият сбор
С два зара с по шест стени има 6 × 6 = 36 еднакво вероятни комбинации. Сборовете не са еднакво вероятни, защото някои могат да се получат по повече начини. 2 пада само с 1+1; 7 пада с 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 и 6+1, шест различни начина.
| Сбор | Комбинации | Вероятност |
|---|---|---|
| 2 | 1 от 36 | около 2,8 % |
| 3 | 2 от 36 | около 5,6 % |
| 4 | 3 от 36 | около 8,3 % |
| 5 | 4 от 36 | около 11,1 % |
| 6 | 5 от 36 | около 13,9 % |
| 7 | 6 от 36 | около 16,7 % |
| 8 | 5 от 36 | около 13,9 % |
| 9 | 4 от 36 | около 11,1 % |
| 10 | 3 от 36 | около 8,3 % |
| 11 | 2 от 36 | около 5,6 % |
| 12 | 1 от 36 | около 2,8 % |
Други данни от същата таблица: две шестици са 1/36 (около 2,8 %), две еднакви числа (дубъл) са 6/36 = 1/6, а поне една шестица при хвърляне на два зара е 11/36 (около 30,6 %), колкото при хвърляне на един зар два пъти. Зар с 12 стени не е същото като два зара с по 6: d12 дава 7 с 1/12 (около 8,3 %), докато 2d6 го дава с 1/6.
Зарове за ролеви игри: d4, d6, d8, d10, d12 и d20
Числото след «d» е броят на стените: d20 дава число от 1 до 20 с равна вероятност, тоест по 5 % за всяко. Средното на зар с n стени от 1 до n е (n + 1) / 2: 3,5 за d6, 10,5 за d20.
Много ролеви игри ползват правилото за преимущество и недостатък: хвърляте два d20 и вземате по-големия (преимущество) или по-малкия (недостатък). Сметките, върху 400 възможни комбинации, са тези:
| Цел | Един d20 | С преимущество | С недостатък |
|---|---|---|---|
| Да паднете 11 или повече | 50 % | 75 % | 25 % |
| Да паднете 15 или повече | 30 % | 51 % | 9 % |
| Да паднете 20 | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Средно на резултата | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
Преимуществото не добавя 10 точки: ако ви трябва 11 или повече, минава от 50 % на 75 %; за 20, от 5 % на 9,75 %. Ефектът е по-голям, когато целта е в средата на скалата. Освен това инструментът не прилага никакво игрово правило, така че за това хвърлете два d20 и вземете сами по-големия или по-малкия.
Как да ползвате Ези или тура, Зарове и Случайно число
- В «Ези или тура» изберете колко монети искате (до 10) и натиснете «Хвърли монетата» или клавиша интервал. Показва се всяка монета, обобщеният резултат и отдолу натрупаният брой. С «Нулирай броя» започвате отначало.
- В «Зарове» изберете количеството (от 1 до 10) и стените (4, 6, 8, 10, 12, 20 или 100) и натиснете «Хвърли». Виждате всеки зар, общия сбор и история на хвърлянията, която можете да изчистите с «Изчисти историята».
- В «Случайно число» задайте минимума, максимума (и двата включително) и количеството. Ако не искате числата да се повтарят, включете «Без повтарящи се числа» и натиснете «Генерирай».
- За да проверите таблиците в това ръководство, хвърлете 10 монети много пъти: най-често се падат 5 ези (24,6 % от хвърлянията), а от 4 до 6 ези се падат общо около 65,6 %. 0 или 10 ези се случват приблизително веднъж на 512 хвърляния.
Всичко се изчислява на вашето устройство, без да се изпраща нищо към сървър. Броят на монетата и историята на заровете се губят при презареждане на страницата.
Как да решите нещо справедливо
За два варианта най-лесно е ези или тура. За повече ползвайте зар или случайно число, като присвоите по един вариант на всяко число. Полезен трик: ако имате четири варианта, хвърлете монета два пъти (ЕЕ, ЕТ, ТЕ, ТТ) или d4. Ако са пет или повече, по-добре е случайно число с точния интервал.
Добре е теглилката да е видима: всички да виждат екрана и правилата да се уговорят преди хвърлянето (коя страна е кой вариант и че важи първото хвърляне). Да промените решението си, след като видите резултата, отнема всякаква справедливост. За томболи с правни последствия или нотариус не е достатъчен онлайн инструмент.
Какво означава случайно в браузъра
Компютърът нищо не хвърля: ползва генератор на случайни числа. При Зарове и Случайно число сайтът ползва криптографския генератор на браузъра, създаден така, че резултатите да не могат да се предвидят и всяко число от интервала да има еднаква вероятност. Монетата ползва генератора на случайни числа на браузъра с 50 % за всяка страна.
Две честни предупреждения. Първо, при монетата анимацията е само визуална: резултатът се решава, преди да се завърти. Второ, при малко хвърляния е нормално резултатът да изглежда неравномерен: при 100 хвърляния на монета обичайното е между 40 и 60 ези (около 96 % от случаите), а не точно 50.
Често задавани въпроси
Ако са паднали пет ези поред, по-вероятно ли е сега да падне тура?
Не. Всяко хвърляне е независимо, така че шестото отново има 50 % за ези и 50 % за тура. Да мислите обратното е грешката на комарджията.
Каква е вероятността да паднат 3 ези поред?
Тя е 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, тоест 12,5 %. За 5 ези поред е 1/32, 3,125 %.
Защо с два зара 7 пада по-често от 12?
Защото 7 се образува по шест начина (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) от 36 комбинации, 16,7 %, а 12 само с 6+6, тоест 2,8 %.
Каква е вероятността да паднете поне една шестица при 4 хвърляния на зар?
1 − (5/6)^4, което е приблизително 51,8 %. Изчислява се, като от 1 извадите вероятността да не паднете нито една шестица в четирите хвърляния.
Наистина ли са случайни резултатите от монетата и заровете?
Генерират се с генератора на случайни числа на браузъра, без предпочитание към нито една страна. Подходящи са за решаване и за игра, но не като доказателство за официална томбола.