Κορώνα γράμματα και ζάρια: πώς υπολογίζουμε τις πιθανότητες

Το δίκαιο νόμισμα και τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα

Ένα δίκαιο νόμισμα έχει πιθανότητα 1/2 (50 %) να φέρει κορώνα και 1/2 να φέρει γράμματα. Το σημαντικό είναι ότι κάθε ρίψη είναι ανεξάρτητη: το νόμισμα δεν έχει μνήμη. Αν βγήκαν πέντε κορώνες στη σειρά, η έκτη ρίψη εξακολουθεί να είναι 50 και 50.

Το να πιστεύετε το αντίθετο λέγεται πλάνη του παίκτη: να νομίζετε ότι «τώρα είναι η σειρά» των γραμμάτων. Αυτό που ισχύει είναι ότι πέντε κορώνες στη σειρά, αν τις δείτε εκ των προτέρων, είναι ένα απίθανο ενδεχόμενο (3,125 %). Όμως, αφού έχουν συμβεί, οι πέντε αυτές ρίψεις ανήκουν στο παρελθόν και δεν επηρεάζουν την επόμενη.

Πόσες κορώνες στη σειρά: ο κανόνας 1/2^n

Επειδή οι ρίψεις είναι ανεξάρτητες, οι πιθανότητες πολλαπλασιάζονται. Για n κορώνες στη σειρά (ή n γράμματα, ή οποιαδήποτε συγκεκριμένη ακολουθία διαλέξετε εκ των προτέρων) η πιθανότητα είναι το 1/2 πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του n φορές, δηλαδή 1/2^n.

Προσοχή σε μια συχνή παγίδα: το 1/32 είναι η πιθανότητα οι πρώτες πέντε ρίψεις να είναι κορώνες, αλλά αν ρίξετε πολλές φορές, μια σειρά πέντε ίδιων σε κάποιο σημείο είναι φυσιολογική. Σε 100 ρίψεις, η πιθανότητα να εμφανιστεί κάπου μια σειρά τουλάχιστον 5 από την ίδια πλευρά (κορώνες ή γράμματα) είναι γύρω στο 97 %, και τουλάχιστον 6 γύρω στο 81 %. Μια μεγάλη σειρά σε μια μακριά ακολουθία δεν είναι ένδειξη ότι το νόμισμα είναι πειραγμένο.

Ένα ζάρι και η πιθανότητα να φέρετε τουλάχιστον ένα 6

Ένα δίκαιο ζάρι έξι εδρών δίνει κάθε αριθμό με πιθανότητα 1/6, περίπου 16,7 %. Για να μάθετε την πιθανότητα να φέρετε τουλάχιστον ένα 6 σε πολλές ρίψεις, συμφέρει να υπολογίσετε το αντίθετο: την πιθανότητα να μη φέρετε κανένα 6 σε όλες τις ρίψεις, που είναι (5/6) υψωμένο στον αριθμό των ρίψεων, και να την αφαιρέσετε από το 1.

Με 4 ρίψεις: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1.296 = 0,5177, δηλαδή περίπου 51,8 %. Με άλλα λόγια, ρίχνοντας ένα ζάρι τέσσερις φορές είναι κάπως πιο πιθανό να φέρετε ένα 6 παρά να μην το φέρετε.

Προσέξτε ότι με 6 ρίψεις δεν φτάνετε στο 100 %: έξι ευκαιρίες του 1/6 δεν αθροίζονται σε βεβαιότητα. Κάθε νέα ρίψη απλώς μειώνει λίγο την πιθανότητα να συνεχίσετε χωρίς 6.

Δύο ζάρια: γιατί το 7 είναι το πιο συχνό άθροισμα

Με δύο ζάρια έξι εδρών υπάρχουν 6 × 6 = 36 εξίσου πιθανοί συνδυασμοί. Τα αθροίσματα δεν είναι εξίσου πιθανά, επειδή μερικά σχηματίζονται με περισσότερους τρόπους. Το 2 βγαίνει μόνο με 1+1· το 7 βγαίνει με 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 και 6+1, έξι διαφορετικούς τρόπους.

Άλλα στοιχεία που προκύπτουν από τον ίδιο πίνακα: να φέρετε δύο εξάρια είναι 1/36 (περ. 2,8 %), να φέρετε δύο ίδιους αριθμούς (ένα ζευγάρι) είναι 6/36 = 1/6, και να φέρετε τουλάχιστον ένα 6 σε μια ρίψη δύο ζαριών είναι 11/36 (περ. 30,6 %), όσο και αν ρίξετε ένα ζάρι δύο φορές. Το να ρίξετε ένα ζάρι 12 εδρών δεν είναι το ίδιο με το να ρίξετε δύο των 6: το d12 δίνει το 7 με 1/12 (περ. 8,3 %), ενώ το 2d6 το δίνει με 1/6.

Ζάρια παιχνιδιών ρόλων: d4, d6, d8, d10, d12 και d20

Ο αριθμός μετά το «d» είναι το πλήθος των εδρών: ένα d20 δίνει έναν αριθμό από το 1 έως το 20 με ίση πιθανότητα, δηλαδή 5 % τον καθένα. Ο μέσος όρος ενός ζαριού n εδρών που πάει από το 1 έως το n είναι (n + 1) / 2: 3,5 για ένα d6, 10,5 για ένα d20.

Πολλά παιχνίδια ρόλων χρησιμοποιούν τον κανόνα του πλεονεκτήματος και του μειονεκτήματος: ρίχνετε δύο d20 και κρατάτε το μεγαλύτερο (πλεονέκτημα) ή το μικρότερο (μειονέκτημα). Οι υπολογισμοί, επί 400 πιθανών συνδυασμών, είναι οι εξής:

Το πλεονέκτημα δεν προσθέτει 10 βαθμούς: αν χρειάζεστε 11 ή περισσότερο, περνάτε από το 50 % στο 75 %· για το 20, από 5 % σε 9,75 %. Το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο όταν ο στόχος βρίσκεται στο μέσο της κλίμακας. Επιπλέον, το εργαλείο δεν εφαρμόζει κανέναν κανόνα παιχνιδιού, οπότε για να το κάνετε αυτό ρίξτε δύο d20 και κρατήστε εσείς το μεγαλύτερο ή το μικρότερο.

Πώς να χρησιμοποιήσετε τα «Κορώνα γράμματα», «Ζάρια» και «Τυχαίος αριθμός»

1. Στο «Κορώνα γράμματα» επιλέξτε πόσα νομίσματα θέλετε (έως 10) και πατήστε «Ρίψη νομίσματος» ή το πλήκτρο διαστήματος. Εμφανίζεται κάθε νόμισμα, το συνοπτικό αποτέλεσμα και, από κάτω, η συσσωρευμένη καταμέτρηση. Με το «Μηδενισμός μετρητή» ξεκινάτε από το μηδέν.
2. Στα «Ζάρια» επιλέξτε το πλήθος (από 1 έως 10) και τις έδρες (4, 6, 8, 10, 12, 20 ή 100), και πατήστε «Ρίξτε». Βλέπετε κάθε ζάρι, το σύνολο και ένα ιστορικό ρίψεων που μπορείτε να αδειάσετε με το «Εκκαθάριση ιστορικού».
3. Στον «Τυχαίος αριθμός» ορίστε το ελάχιστο, το μέγιστο (και τα δύο συμπεριλαμβάνονται) και το πλήθος. Αν θέλετε να μην επαναλαμβάνονται, ενεργοποιήστε το «Χωρίς επαναλαμβανόμενους αριθμούς» και πατήστε «Δημιουργία».
4. Για να ελέγξετε τους πίνακες αυτού του οδηγού, ρίξτε 10 νομίσματα πολλές φορές: το πιο συνηθισμένο είναι 5 κορώνες (24,6 % των ρίψεων) και από 4 έως 6 κορώνες αθροίζουν περίπου 65,6 %. Να δείτε 0 ή 10 κορώνες συμβαίνει περίπου 1 στις 512 ρίψεις.

Όλα υπολογίζονται στη συσκευή σας, χωρίς να στέλνεται τίποτα σε διακομιστή. Η καταμέτρηση του νομίσματος και το ιστορικό των ζαριών χάνονται όταν ξαναφορτώσετε τη σελίδα.

Πώς να αποφασίσετε κάτι δίκαια

Για δύο επιλογές, η κορώνα γράμματα είναι ό,τι πιο απλό. Για περισσότερες, χρησιμοποιήστε ένα ζάρι ή έναν τυχαίο αριθμό αντιστοιχίζοντας μια επιλογή σε κάθε αριθμό. Ένα χρήσιμο κόλπο: αν έχετε τέσσερις επιλογές, ρίξτε ένα νόμισμα δύο φορές (ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ) ή ένα d4. Αν έχετε πέντε ή περισσότερες, καλύτερα ένας τυχαίος αριθμός με το ακριβές εύρος.

Συμφέρει η κλήρωση να είναι ορατή: να βλέπουν όλοι την οθόνη και οι κανόνες να συμφωνούνται πριν από τη ρίψη (ποια πλευρά αντιστοιχεί σε κάθε επιλογή και ότι ισχύει η πρώτη ρίψη). Το να αλλάξετε γνώμη αφού δείτε το αποτέλεσμα αφαιρεί κάθε δικαιοσύνη. Για κληρώσεις με νομικές συνέπειες ή παρουσία συμβολαιογράφου δεν αρκεί ένα διαδικτυακό εργαλείο.

Τι σημαίνει τυχαίο στο πρόγραμμα περιήγησης

Ένας υπολογιστής δεν ρίχνει τίποτα: χρησιμοποιεί μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών. Στα «Ζάρια» και στον «Τυχαίος αριθμός», ο ιστότοπος χρησιμοποιεί την κρυπτογραφική γεννήτρια του προγράμματος περιήγησης, σχεδιασμένη ώστε τα αποτελέσματα να μην μπορούν να προβλεφθούν και ώστε κάθε αριθμός του εύρους να έχει την ίδια πιθανότητα. Το νόμισμα χρησιμοποιεί τη γεννήτρια τυχαίων αριθμών του προγράμματος περιήγησης με 50 % για κάθε πλευρά.

Δύο ειλικρινείς επισημάνσεις. Πρώτον, στο νόμισμα η animation είναι μόνο οπτική: το αποτέλεσμα αποφασίζεται πριν γυρίσει. Δεύτερον, με λίγες ρίψεις είναι φυσιολογικό το αποτέλεσμα να φαίνεται άνισο: σε 100 ρίψεις νομίσματος, το συνηθισμένο είναι ανάμεσα σε 40 και 60 κορώνες (περίπου στο 96 % των περιπτώσεων) και όχι ακριβώς 50.

Συχνές ερωτήσεις