صورة أو كتابة والنرد: كيف تحسب الاحتمالات

العملة العادلة والأحداث المستقلة

العملة العادلة احتمال أن تسقط على «صورة» هو 1/2 (50 %) واحتمال أن تسقط على «كتابة» هو 1/2. والمهم أن كل رمية مستقلة: العملة لا تتذكر. فإذا ظهرت خمس صور متتالية فالرمية السادسة ما زالت 50 و50.

الاعتقاد بالعكس يسمى مغالطة المقامر: أن تظن أن «دور» الكتابة قد حان. الصحيح أن خمس صور متتالية، إذا نظرنا إليها مسبقاً، حدث ضعيف الاحتمال (3.125 %). لكن بعد أن حدثت تصبح الرميات الخمس ماضياً ولا تؤثر في التالية.

كم صورة متتالية: قاعدة 1/2^n

بما أن الرميات مستقلة فالاحتمالات تُضرب. لحدوث n صورة متتالية (أو n كتابة، أو أي تسلسل محدد تختاره مسبقاً) يكون الاحتمال 1/2 مضروباً في نفسه n مرة، أي 1/2^n.

انتبه إلى فخ شائع: 1/32 هو احتمال أن تكون أول خمس رميات صوراً، لكن إذا رميت مرات كثيرة فظهور سلسلة من خمس متشابهة في مكان ما أمر طبيعي. ففي 100 رمية يبلغ احتمال ظهور سلسلة من 5 على الأقل من الجانب نفسه (صور أو كتابة) في أي موضع نحو 97 %، ومن 6 على الأقل نحو 81 %. السلسلة الطويلة داخل متوالية طويلة ليست دليلاً على أن العملة مزوّرة.

نرد واحد واحتمال الحصول على 6 مرة على الأقل

النرد العادل ذو الأوجه الستة يعطي كل رقم باحتمال 1/6، أي نحو 16.7 %. ولمعرفة فرصة الحصول على 6 مرة على الأقل في عدة رميات يفيد حساب العكس: احتمال ألا يظهر أي 6 في كل الرميات، وهو (5/6) مرفوعاً إلى عدد الرميات، ثم نطرحه من 1.

مع 4 رميات: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1,296 = 0.5177، أي نحو 51.8 %. أي أنه عند رمي نرد أربع مرات يكون الحصول على 6 أرجح قليلاً من عدمه.

لاحظ أنك مع 6 رميات لا تصل إلى 100 %: ست فرص بنسبة 1/6 لا تصنع يقيناً. وكل رمية جديدة تقلل قليلاً فقط من احتمال بقائك بلا 6.

نردان: لماذا 7 هو المجموع الأكثر تكراراً

مع نردين ذوي ستة أوجه توجد 6 × 6 = 36 توليفة متساوية الاحتمال. والمجاميع ليست متساوية الاحتمال لأن بعضها يتكوّن بطرق أكثر. الرقم 2 لا يخرج إلا بـ1+1؛ أما 7 فيخرج بـ1+6 و2+5 و3+4 و4+3 و5+2 و6+1، أي ست طرق مختلفة.

ومن الجدول نفسه نستخلص: الحصول على ستتين هو 1/36 (نحو 2.8 %)، والحصول على رقمين متساويين (زوج) هو 6/36 = 1/6، والحصول على 6 مرة على الأقل في رمية نردين هو 11/36 (نحو 30.6 %)، مثل رمي نرد واحد مرتين. ورمي نرد d12 ليس كرمي نردين d6: فالـd12 يعطي 7 باحتمال 1/12 (نحو 8.3 %)، بينما يعطيه 2d6 باحتمال 1/6.

نرد ألعاب الأدوار: d4 وd6 وd8 وd10 وd12 وd20

الرقم بعد الحرف «d» هو عدد الأوجه: النرد d20 يعطي رقماً من 1 إلى 20 باحتمال متساوٍ، أي 5 % لكل رقم. ومتوسط نرد ذي n وجه يمتد من 1 إلى n هو (n + 1) / 2: أي 3.5 للـd6 و10.5 للـd20.

كثير من ألعاب الأدوار تستخدم قاعدة الأفضلية والأفضلية السلبية: ترمي نردين d20 وتحتفظ بالأكبر (أفضلية) أو بالأصغر (أفضلية سلبية). والحسابات على 400 توليفة ممكنة هي التالية:

الأفضلية لا تضيف 10 نقاط: فلكي تحتاج إلى 11 أو أكثر ينتقل الاحتمال من 50 % إلى 75 %؛ وللحصول على 20 من 5 % إلى 9.75 %. والأثر أكبر حين يكون الهدف في منتصف المقياس. كما أن الأداة لا تطبق أي قاعدة لعبة، فلفعل ذلك ارمِ نردين d20 واحتفظ أنت بالأكبر أو بالأصغر.

كيف تستخدم «رمي العملة» و«رمي النرد» و«رقم عشوائي»

1. في «رمي العملة» اختر عدد العملات الذي تريده (حتى 10) واضغط «ارمِ العملة» أو اضغط مفتاح المسافة. تُعرض كل عملة والنتيجة ملخصة وفي الأسفل العدّاد التراكمي. وبـ«تصفير العدّاد» تبدأ من الصفر.
2. في «رمي النرد» اختر العدد (من 1 إلى 10) والأوجه (4 أو 6 أو 8 أو 10 أو 12 أو 20 أو 100) واضغط «ارمِ». ترى كل نرد والمجموع وسجل الرميات الذي يمكنك إفراغه بـ«مسح السجل».
3. في «رقم عشوائي» حدد الحد الأدنى والحد الأقصى (كلاهما مشمول) والعدد. وإن أردت ألا تتكرر الأرقام فعّل «بدون أرقام مكررة» واضغط «توليد».
4. للتحقق من جداول هذا الدليل، ارمِ 10 عملات مرات كثيرة: الأكثر شيوعاً هو 5 صور (24.6 % من الرميات)، ومن 4 إلى 6 صور تمثل نحو 65.6 %. وظهور 0 أو 10 صور يحدث نحو مرة كل 512 رمية.

كل شيء يُحسب على جهازك دون إرسال شيء إلى خادم. وعدّاد العملة وسجل النرد يضيعان عند إعادة تحميل الصفحة.

اتخاذ قرار بطريقة عادلة

لخيارين، «صورة أو كتابة» أبسط حل. ولأكثر من ذلك استعمل نرداً أو رقماً عشوائياً مع تخصيص خيار لكل رقم. وحيلة مفيدة: إن كانت لديك أربعة خيارات فارمِ عملة مرتين (صص وصك وكص وكك) أو نرد d4. وإن كانت خمسة خيارات أو أكثر فالأفضل رقم عشوائي بالنطاق المضبوط.

ويستحسن أن تكون القرعة علنية: أن يرى الجميع الشاشة وأن تُتفق القواعد قبل الرمي (أي جانب يمثل كل خيار، وأن الرمية الأولى هي المعتبرة). تغيير الرأي بعد رؤية النتيجة يُفقد القرعة كل عدالتها. أما القرعات ذات الآثار القانونية أو التي تتطلب موثّقاً فلا تكفي فيها أداة عبر الإنترنت.

ماذا تعني العشوائية في المتصفح

الحاسوب لا يرمي شيئاً: إنه يستخدم مولّد أرقام عشوائية. في «رمي النرد» و«رقم عشوائي» يستخدم الموقع المولّد التشفيري في المتصفح، المصمم بحيث لا يمكن التنبؤ بالنتائج ولكي يكون لكل رقم في النطاق الاحتمال نفسه. أما العملة فتستخدم مولّد الأرقام العشوائية في المتصفح بنسبة 50 % لكل جانب.

تنبيهان صريحان. الأول أن حركة العملة في الرسوم المتحركة بصرية فقط: النتيجة تُحدَّد قبل أن تدور. والثاني أنه مع رميات قليلة يكون من الطبيعي أن تبدو النتيجة غير متوازنة: ففي 100 رمية عملة، المعتاد أن تحصل على 40 إلى 60 صورة (نحو 96 % من المرات) لا 50 بالضبط.

الأسئلة الشائعة