Koin yang adil dan kejadian yang saling bebas
Koin yang adil punya peluang 1/2 (50 %) jatuh pada gambar dan 1/2 jatuh pada angka. Yang penting, setiap lemparan bersifat bebas: koin tidak punya ingatan. Kalau lima kali berturut-turut keluar gambar, lemparan keenam tetap 50 banding 50.
Meyakini sebaliknya disebut kekeliruan penjudi (gambler's fallacy): mengira «sekarang giliran angka». Yang benar adalah bahwa lima gambar berturut-turut, bila dilihat sebelum lemparan, adalah kejadian yang kecil peluangnya (3,125 %). Tetapi begitu sudah terjadi, kelima lemparan itu sudah lewat dan tidak memengaruhi lemparan berikutnya.
Berapa gambar berturut-turut: aturan 1/2^n
Karena lemparan saling bebas, peluangnya dikalikan. Untuk n gambar berturut-turut (atau n angka, atau urutan tertentu apa pun yang kamu pilih sebelumnya), peluangnya adalah 1/2 dikalikan dengan dirinya sendiri n kali, yaitu 1/2^n.
| Lemparan berturut-turut | Hitungan | Peluang |
|---|---|---|
| 1 gambar | 1/2 | 50 % |
| 2 gambar | 1/4 | 25 % |
| 3 gambar | 1/8 | 12,5 % |
| 4 gambar | 1/16 | 6,25 % |
| 5 gambar | 1/32 | 3,125 % |
| 6 gambar | 1/64 | 1,5625 % |
| 8 gambar | 1/256 | sekitar 0,39 % |
| 10 gambar | 1/1.024 | sekitar 0,098 % |
Waspadai jebakan yang sering terjadi: 1/32 adalah peluang bahwa lima lemparan pertama semuanya gambar, tetapi kalau kamu melempar berkali-kali, rentetan lima yang sama di suatu titik adalah hal biasa. Dalam 100 lemparan, peluang munculnya rentetan setidaknya 5 di sisi yang sama (gambar atau angka) di suatu tempat sekitar 97 %, dan setidaknya 6 sekitar 81 %. Rentetan panjang dalam deretan yang panjang bukan tanda bahwa koinnya dicurangi.
Satu dadu dan peluang mendapat setidaknya satu angka 6
Dadu enam sisi yang adil memberi tiap angka dengan peluang 1/6, sekitar 16,7 %. Untuk mengetahui peluang mendapat setidaknya satu angka 6 dalam beberapa lemparan, lebih mudah menghitung kebalikannya: peluang tidak mendapat angka 6 sama sekali dalam semua lemparan, yaitu (5/6) pangkat jumlah lemparan, lalu mengurangkannya dari 1.
Dengan 4 lemparan: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1.296 = 0,5177, atau sekitar 51,8 %. Artinya, kalau satu dadu dilempar empat kali, sedikit lebih mungkin mendapat angka 6 daripada tidak.
| Lemparan satu dadu | Peluang setidaknya satu angka 6 |
|---|---|
| 1 | sekitar 16,7 % |
| 2 | sekitar 30,6 % |
| 3 | sekitar 42,1 % |
| 4 | sekitar 51,8 % |
| 6 | sekitar 66,5 % |
| 8 | sekitar 76,7 % |
Perhatikan bahwa dengan 6 lemparan peluangnya belum 100 %: enam kesempatan masing-masing 1/6 tidak berjumlah kepastian. Setiap lemparan baru hanya mengecilkan sedikit peluang untuk tetap tanpa angka 6.
Dua dadu: mengapa 7 adalah jumlah yang paling sering
Dengan dua dadu enam sisi ada 6 × 6 = 36 kombinasi yang sama-sama mungkin. Jumlahnya tidak sama-sama mungkin karena sebagian bisa dibentuk dengan lebih banyak cara. Angka 2 hanya muncul dari 1+1; angka 7 muncul dari 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, dan 6+1, enam cara berbeda.
| Jumlah | Kombinasi | Peluang |
|---|---|---|
| 2 | 1 dari 36 | sekitar 2,8 % |
| 3 | 2 dari 36 | sekitar 5,6 % |
| 4 | 3 dari 36 | sekitar 8,3 % |
| 5 | 4 dari 36 | sekitar 11,1 % |
| 6 | 5 dari 36 | sekitar 13,9 % |
| 7 | 6 dari 36 | sekitar 16,7 % |
| 8 | 5 dari 36 | sekitar 13,9 % |
| 9 | 4 dari 36 | sekitar 11,1 % |
| 10 | 3 dari 36 | sekitar 8,3 % |
| 11 | 2 dari 36 | sekitar 5,6 % |
| 12 | 1 dari 36 | sekitar 2,8 % |
Fakta lain dari tabel yang sama: mendapat dua angka enam adalah 1/36 (sekitar 2,8 %), mendapat dua angka kembar (double) adalah 6/36 = 1/6, dan mendapat setidaknya satu angka 6 pada sekali lempar dua dadu adalah 11/36 (sekitar 30,6 %), sama seperti melempar satu dadu dua kali. Melempar satu dadu 12 sisi tidak sama dengan melempar dua dadu 6 sisi: d12 memberi angka 7 dengan peluang 1/12 (sekitar 8,3 %), sedangkan 2d6 memberinya dengan peluang 1/6.
Dadu permainan peran: d4, d6, d8, d10, d12, dan d20
Angka setelah «d» adalah jumlah sisinya: d20 memberi angka 1 sampai 20 dengan peluang sama, yaitu 5 % untuk masing-masing. Rata-rata dadu n sisi yang bernomor 1 sampai n adalah (n + 1) / 2: 3,5 untuk d6, 10,5 untuk d20.
Banyak permainan peran memakai aturan keunggulan dan kelemahan (advantage dan disadvantage): kamu melempar dua d20 dan mengambil yang terbesar (keunggulan) atau yang terkecil (kelemahan). Hitungannya, dari 400 kombinasi yang mungkin, adalah sebagai berikut:
| Target | Satu d20 | Dengan keunggulan | Dengan kelemahan |
|---|---|---|---|
| Mendapat 11 atau lebih | 50 % | 75 % | 25 % |
| Mendapat 15 atau lebih | 30 % | 51 % | 9 % |
| Mendapat angka 20 | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Rata-rata hasil | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
Keunggulan tidak menambah 10 poin: untuk butuh 11 atau lebih, peluang naik dari 50 % menjadi 75 %; untuk angka 20, dari 5 % menjadi 9,75 %. Efeknya lebih besar saat targetnya berada di tengah skala. Selain itu, alat ini tidak menerapkan aturan permainan apa pun, jadi untuk melakukannya, lempar dua d20 dan ambil sendiri yang terbesar atau terkecil.
Cara memakai Lempar koin, Lempar dadu, dan Angka acak
- Di «Lempar koin» pilih berapa koin yang kamu mau (sampai 10) lalu ketuk «Lempar koin» atau tekan spasi. Tiap koin ditampilkan, hasilnya diringkas, dan di bawahnya ada hitungan kumulatif. Dengan «Reset hitungan» kamu mulai dari nol.
- Di «Lempar dadu» pilih jumlah (1 sampai 10) dan sisi (4, 6, 8, 10, 12, 20, atau 100), lalu ketuk «Lempar». Kamu melihat tiap dadu, totalnya, dan riwayat lemparan yang bisa dikosongkan dengan «Hapus riwayat».
- Di «Angka acak» tentukan minimum, maksimum (keduanya termasuk), dan jumlahnya. Kalau kamu ingin angkanya tidak berulang, aktifkan «Tanpa angka berulang» lalu ketuk «Buat».
- Untuk memeriksa tabel dalam panduan ini, lempar 10 koin berkali-kali: yang paling sering adalah 5 gambar (24,6 % lemparan) dan 4 sampai 6 gambar bersama-sama sekitar 65,6 %. Mendapat 0 atau 10 gambar terjadi sekitar 1 dari 512 lemparan.
Semuanya dihitung di perangkatmu, tanpa mengirim apa pun ke server. Hitungan koin dan riwayat dadu hilang saat halaman dimuat ulang.
Memutuskan sesuatu secara adil
Untuk dua pilihan, lempar koin adalah yang paling sederhana. Untuk lebih banyak, pakai dadu atau angka acak dengan memberi satu pilihan pada tiap angka. Trik yang berguna: kalau ada empat pilihan, lempar koin dua kali (GG, GA, AG, AA) atau pakai d4. Kalau ada lima pilihan atau lebih, lebih baik pakai angka acak dengan rentang yang pas.
Sebaiknya pengundiannya terlihat: semua orang melihat layar dan aturannya disepakati sebelum melempar (sisi mana untuk pilihan mana, dan bahwa lemparan pertama yang berlaku). Berganti pikiran setelah melihat hasil menghilangkan semua keadilan. Untuk undian yang berakibat hukum atau perlu notaris, alat online tidak cukup.
Apa arti acak di browser
Komputer tidak melempar apa pun: ia memakai pembangkit angka acak. Pada Lempar dadu dan Angka acak, situs memakai pembangkit kriptografis milik browser, yang dirancang agar hasilnya tidak bisa ditebak dan tiap angka dalam rentang punya peluang sama. Koin memakai pembangkit angka acak browser dengan 50 % untuk tiap sisi.
Dua peringatan jujur. Pertama, pada koin animasinya hanya tampilan: hasilnya ditentukan sebelum koin berputar. Kedua, dengan sedikit lemparan wajar kalau hasilnya tampak tidak seimbang: dalam 100 lemparan koin, yang lazim adalah 40 sampai 60 gambar (sekitar 96 % kali), bukan tepat 50.
Pertanyaan yang sering diajukan
Kalau sudah keluar lima gambar berturut-turut, apakah sekarang lebih mungkin keluar angka?
Tidak. Setiap lemparan bersifat bebas, jadi lemparan keenam kembali 50 % gambar dan 50 % angka. Mengira sebaliknya adalah kekeliruan penjudi.
Berapa peluang mendapat 3 gambar berturut-turut?
1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, atau 12,5 %. Untuk 5 gambar berturut-turut peluangnya 1/32, yaitu 3,125 %.
Mengapa pada dua dadu angka 7 lebih sering muncul daripada 12?
Karena 7 terbentuk dengan enam cara (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) dari 36 kombinasi, yaitu 16,7 %, sedangkan 12 hanya dengan 6+6, yaitu 2,8 %.
Berapa peluang mendapat setidaknya satu angka 6 dalam 4 lemparan satu dadu?
1 − (5/6)^4, yaitu sekitar 51,8 %. Dihitung dengan mengurangkan dari 1 peluang tidak mendapat angka 6 sama sekali dalam keempat lemparan.
Apakah hasil koin dan dadu benar-benar acak?
Hasilnya dibuat dengan pembangkit angka acak browser, tanpa kecenderungan ke sisi mana pun. Cocok untuk memutuskan dan bermain, tetapi bukan sebagai bukti undian resmi.