Tung đồng xu và xúc xắc: cách tính xác suất

Đồng xu công bằng và các sự kiện độc lập

Một đồng xu công bằng có xác suất 1/2 (50 %) rơi mặt ngửa và 1/2 rơi mặt sấp. Điều quan trọng là mỗi lần tung là độc lập: đồng xu không có trí nhớ. Nếu đã ra năm mặt ngửa liên tiếp, lần tung thứ sáu vẫn là 50 và 50.

Tin điều ngược lại gọi là ngụy biện của người đánh bạc: nghĩ rằng «đến lượt» mặt sấp rồi. Điều đúng là, nhìn từ trước, năm mặt ngửa liên tiếp là một sự kiện ít xảy ra (3,125 %). Nhưng khi chúng đã xảy ra, năm lần tung đó là quá khứ và không ảnh hưởng đến lần tiếp theo.

Bao nhiêu mặt ngửa liên tiếp: quy tắc 1/2^n

Vì các lần tung độc lập nên xác suất được nhân với nhau. Với n mặt ngửa liên tiếp (hoặc n mặt sấp, hoặc bất kỳ chuỗi cụ thể nào bạn chọn từ trước), xác suất là 1/2 nhân với chính nó n lần, tức 1/2^n.

Cẩn thận với một cái bẫy thường gặp: 1/32 là xác suất để năm lần tung đầu tiên đều ngửa, nhưng nếu bạn tung nhiều lần thì một chuỗi năm lần giống nhau ở lúc nào đó là điều bình thường. Trong 100 lần tung, xác suất xuất hiện ở đâu đó một chuỗi ít nhất 5 lần cùng một mặt (ngửa hoặc sấp) vào khoảng 97 %, và ít nhất 6 lần vào khoảng 81 %. Một chuỗi dài trong một loạt dài không phải dấu hiệu đồng xu bị làm gian.

Một xúc xắc và xác suất ra ít nhất một mặt 6

Một xúc xắc sáu mặt công bằng cho mỗi số với xác suất 1/6, khoảng 16,7 %. Để biết cơ hội ra ít nhất một mặt 6 trong nhiều lần tung, nên tính điều ngược lại: xác suất không ra mặt 6 nào trong tất cả các lần tung, là (5/6) mũ số lần tung, rồi lấy 1 trừ đi.

Với 4 lần tung: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1.296 = 0,5177, tức khoảng 51,8 %. Nghĩa là khi tung một xúc xắc bốn lần, khả năng ra mặt 6 cao hơn một chút so với không ra.

Lưu ý rằng với 6 lần tung bạn không đạt 100 %: sáu cơ hội 1/6 không cộng lại thành sự chắc chắn. Mỗi lần tung mới chỉ làm giảm đôi chút xác suất vẫn chưa ra mặt 6.

Hai xúc xắc: vì sao tổng 7 là phổ biến nhất

Với hai xúc xắc sáu mặt có 6 × 6 = 36 tổ hợp có xác suất như nhau. Các tổng không có xác suất như nhau vì một số tổng có thể tạo ra theo nhiều cách hơn. Tổng 2 chỉ ra với 1+1; tổng 7 ra với 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 và 6+1, sáu cách khác nhau.

Một số thông tin khác rút ra từ cùng bảng này: ra hai mặt sáu là 1/36 (khoảng 2,8 %), ra hai số giống nhau (một đôi) là 6/36 = 1/6, và ra ít nhất một mặt 6 trong một lần tung hai xúc xắc là 11/36 (khoảng 30,6 %), giống như tung một xúc xắc hai lần. Tung một xúc xắc 12 mặt không giống tung hai xúc xắc 6 mặt: d12 cho ra 7 với 1/12 (khoảng 8,3 %), còn 2d6 cho ra với 1/6.

Xúc xắc của trò chơi nhập vai: d4, d6, d8, d10, d12 và d20

Con số sau chữ «d» là số mặt: một d20 cho ra một số từ 1 đến 20 với xác suất như nhau, tức 5 % mỗi số. Giá trị trung bình của một xúc xắc n mặt đi từ 1 đến n là (n + 1) / 2: 3,5 với d6, 10,5 với d20.

Nhiều trò chơi nhập vai dùng quy tắc lợi thế và bất lợi: bạn tung hai d20 và lấy số cao hơn (lợi thế) hoặc thấp hơn (bất lợi). Các phép tính, trên 400 tổ hợp có thể có, như sau:

Lợi thế không cộng thêm 10 điểm: để cần 11 trở lên, xác suất tăng từ 50 % lên 75 %; để ra 20, từ 5 % lên 9,75 %. Hiệu quả lớn hơn khi mục tiêu nằm ở giữa thang. Ngoài ra, công cụ không áp dụng quy tắc trò chơi nào, nên để làm việc này hãy tung hai d20 rồi tự lấy số cao hơn hoặc thấp hơn.

Cách dùng Sấp hay ngửa, Tung xúc xắc và Số ngẫu nhiên

1. Trong «Sấp hay ngửa», chọn số đồng xu bạn muốn (tối đa 10) rồi nhấn «Tung đồng xu» hoặc bấm phím cách. Công cụ hiển thị từng đồng xu, kết quả tóm tắt và, bên dưới, số đếm cộng dồn. Với «Đặt lại số đếm» bạn bắt đầu lại từ không.
2. Trong «Tung xúc xắc», chọn số lượng (từ 1 đến 10) và số mặt (4, 6, 8, 10, 12, 20 hoặc 100), rồi nhấn «Tung». Bạn thấy từng xúc xắc, tổng và lịch sử các lần tung, có thể xóa bằng «Xóa lịch sử».
3. Trong «Số ngẫu nhiên», đặt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (đều được tính) và số lượng. Nếu muốn các số không lặp lại, bật «Không trùng số» rồi nhấn «Tạo số».
4. Để kiểm tra các bảng trong hướng dẫn này, hãy tung 10 đồng xu nhiều lần: phổ biến nhất là 5 ngửa (24,6 % số lần tung) và từ 4 đến 6 ngửa cộng lại khoảng 65,6 %. Ra 0 hoặc 10 ngửa xảy ra khoảng 1 trên 512 lần tung.

Mọi thứ được tính trên thiết bị của bạn, không gửi gì lên máy chủ. Số đếm của đồng xu và lịch sử xúc xắc sẽ mất khi tải lại trang.

Quyết định một việc cho công bằng

Với hai lựa chọn, sấp hay ngửa là đơn giản nhất. Với nhiều hơn, hãy dùng một xúc xắc hoặc một số ngẫu nhiên và gán mỗi lựa chọn cho một số. Một mẹo hữu ích: nếu có bốn lựa chọn, tung một đồng xu hai lần (NN, NS, SN, SS) hoặc một d4. Nếu có năm lựa chọn trở lên, tốt hơn là dùng một số ngẫu nhiên với khoảng chính xác.

Nên để việc bốc thăm diễn ra công khai: mọi người đều thấy màn hình và các quy tắc được thống nhất trước khi tung (mặt nào là lựa chọn nào, và lần tung đầu tiên là lần có giá trị). Đổi ý sau khi thấy kết quả làm mất hết sự công bằng. Với các cuộc bốc thăm có hệ quả pháp lý hoặc cần công chứng thì một công cụ trực tuyến là chưa đủ.

Ngẫu nhiên trong trình duyệt nghĩa là gì

Máy tính không tung gì cả: nó dùng một bộ tạo số ngẫu nhiên. Với Tung xúc xắc và Số ngẫu nhiên, trang dùng bộ tạo mật mã của trình duyệt, được thiết kế để không thể đoán trước kết quả và để mỗi số trong khoảng có xác suất như nhau. Đồng xu dùng bộ tạo số ngẫu nhiên của trình duyệt với 50 % cho mỗi mặt.

Hai lưu ý trung thực. Thứ nhất, ở đồng xu, hình động chỉ là hiệu ứng thị giác: kết quả được quyết định trước khi nó xoay. Thứ hai, với ít lần tung thì kết quả trông lệch là bình thường: trong 100 lần tung đồng xu, thường ra từ 40 đến 60 mặt ngửa (khoảng 96 % số lần) chứ không phải đúng 50.

Câu hỏi thường gặp