Det rättvisa myntet och oberoende händelser
Ett rättvist mynt har sannolikheten 1/2 (50 %) att landa på krona och 1/2 att landa på klave. Det viktiga är att varje kast är oberoende: myntet har inget minne. Om det blev fem kronor i rad är det sjätte kastet fortfarande 50 mot 50.
Att tro motsatsen kallas spelarens felslut: att tro att det ”är klaves tur nu”. Det som däremot stämmer är att fem kronor i rad, sett i förväg, är en osannolik händelse (3,125 %). Men när det väl har hänt är de fem kasten historia och påverkar inte nästa.
Hur många kronor i rad: regeln 1/2^n
Eftersom kasten är oberoende multipliceras sannolikheterna. För n kronor i rad (eller n klavar, eller vilken bestämd sekvens du än väljer i förväg) är sannolikheten 1/2 multiplicerat med sig självt n gånger, alltså 1/2^n.
| Kast i rad | Uträkning | Sannolikhet |
|---|---|---|
| 1 krona | 1/2 | 50 % |
| 2 kronor | 1/4 | 25 % |
| 3 kronor | 1/8 | 12,5 % |
| 4 kronor | 1/16 | 6,25 % |
| 5 kronor | 1/32 | 3,125 % |
| 6 kronor | 1/64 | 1,5625 % |
| 8 kronor | 1/256 | ca 0,39 % |
| 10 kronor | 1/1 024 | ca 0,098 % |
Se upp för en vanlig fälla: 1/32 är sannolikheten att de första fem kasten blir kronor, men om du kastar många gånger är det normalt att en svit på fem lika dyker upp någon gång. På 100 kast ligger sannolikheten att en svit på minst 5 av samma sida (krona eller klave) dyker upp någonstans på ungefär 97 %, och för minst 6 på ungefär 81 %. En lång svit i en lång serie är inget tecken på att myntet är riggat.
En tärning och sannolikheten att få minst en sexa
En rättvis sexsidig tärning ger varje tal med sannolikheten 1/6, ungefär 16,7 %. För att veta chansen att få minst en sexa på flera kast är det bäst att räkna på det motsatta: sannolikheten att inte få någon sexa alls, vilket är (5/6) upphöjt till antalet kast, och dra bort den från 1.
Med 4 kast: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1 296 = 0,5177, alltså ungefär 51,8 %. Det betyder att om du kastar en tärning fyra gånger är det något mer sannolikt att få en sexa än att inte få någon.
| Kast med en tärning | Sannolikhet för minst en sexa |
|---|---|
| 1 | ca 16,7 % |
| 2 | ca 30,6 % |
| 3 | ca 42,1 % |
| 4 | ca 51,8 % |
| 6 | ca 66,5 % |
| 8 | ca 76,7 % |
Observera att du inte når 100 % med 6 kast: sex chanser på 1/6 blir ingen säkerhet. Varje nytt kast minskar bara något sannolikheten att fortfarande sakna en sexa.
Två tärningar: varför 7 är den vanligaste summan
Med två sexsidiga tärningar finns det 6 × 6 = 36 lika sannolika kombinationer. Summorna är inte lika sannolika eftersom vissa kan bildas på fler sätt. 2 kommer bara med 1+1; 7 kommer med 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 och 6+1, sex olika sätt.
| Summa | Kombinationer | Sannolikhet |
|---|---|---|
| 2 | 1 av 36 | ca 2,8 % |
| 3 | 2 av 36 | ca 5,6 % |
| 4 | 3 av 36 | ca 8,3 % |
| 5 | 4 av 36 | ca 11,1 % |
| 6 | 5 av 36 | ca 13,9 % |
| 7 | 6 av 36 | ca 16,7 % |
| 8 | 5 av 36 | ca 13,9 % |
| 9 | 4 av 36 | ca 11,1 % |
| 10 | 3 av 36 | ca 8,3 % |
| 11 | 2 av 36 | ca 5,6 % |
| 12 | 1 av 36 | ca 2,8 % |
Andra fakta som följer av samma tabell: att få två sexor är 1/36 (ca 2,8 %), att få två lika (ett par) är 6/36 = 1/6, och att få minst en sexa i ett kast med två tärningar är 11/36 (ca 30,6 %), precis som att kasta en tärning två gånger. Att kasta en tolvsidig tärning är inte detsamma som att kasta två sexsidiga: d12 ger 7 med 1/12 (ca 8,3 %), medan 2d6 ger det med 1/6.
Rollspelstärningar: d4, d6, d8, d10, d12 och d20
Talet efter ”d” är antalet sidor: en d20 ger ett tal från 1 till 20 med samma sannolikhet, alltså 5 % vardera. Medelvärdet för en tärning med n sidor som går från 1 till n är (n + 1) / 2: 3,5 för en d6, 10,5 för en d20.
Många rollspel använder regeln om fördel och nackdel: du kastar två d20 och behåller den högsta (fördel) eller den lägsta (nackdel). Uträkningarna, på 400 möjliga kombinationer, är dessa:
| Mål | En d20 | Med fördel | Med nackdel |
|---|---|---|---|
| Slå 11 eller mer | 50 % | 75 % | 25 % |
| Slå 15 eller mer | 30 % | 51 % | 9 % |
| Slå en 20 | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Medelvärde för resultatet | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
Fördelen ger inte 10 poäng: om du behöver 11 eller mer går det från 50 % till 75 %; för en 20 från 5 % till 9,75 %. Effekten är störst när målet ligger mitt på skalan. Verktyget tillämpar dessutom inga spelregler, så för att göra det här kastar du två d20 och behåller själv den högsta eller lägsta.
Så använder du Singla slant, Tärningskast och Slumptal
- I ”Singla slant” väljer du hur många mynt du vill ha (upp till 10) och klickar på ”Singla slant” eller trycker på mellanslag. Varje mynt visas, resultatet sammanfattas och längst ned finns den samlade räkningen. Med ”Nollställ räkningen” börjar du om från noll.
- I ”Tärningskast” väljer du antal (från 1 till 10) och sidor (4, 6, 8, 10, 12, 20 eller 100) och klickar på ”Kasta”. Du ser varje tärning, summan och en historik över kasten som du kan tömma med ”Rensa historiken”.
- I ”Slumptal” anger du minsta tal, största tal (båda inkluderade) och antal. Om du vill att talen inte ska upprepas slår du på ”Inga upprepade tal” och klickar på ”Generera”.
- För att kontrollera tabellerna i den här guiden kastar du 10 mynt många gånger: det vanligaste är 5 kronor (24,6 % av kasten) och 4 till 6 kronor står tillsammans för ungefär 65,6 %. Att få 0 eller 10 kronor händer ungefär 1 gång av 512 kast.
Allt beräknas på din enhet utan att något skickas till en server. Myntets räkning och tärningshistoriken försvinner när du laddar om sidan.
Att avgöra något rättvist
För två alternativ är krona eller klave det enklaste. För fler använder du en tärning eller ett slumptal och tilldelar varje tal ett alternativ. Ett användbart knep: om du har fyra alternativ kastar du ett mynt två gånger (KK, KL, LK, LL) eller en d4. Har du fem eller fler är ett slumptal med exakt rätt intervall bäst.
Det är bra om lottningen är synlig: att alla ser skärmen och att reglerna är överenskomna före kastet (vilken sida som är vilket alternativ, och att första kastet gäller). Att ändra sig efter att man sett resultatet tar bort all rättvisa. För lottningar med juridiska följder räcker inte ett verktyg på nätet.
Vad slumpmässigt betyder i webbläsaren
En dator kastar ingenting: den använder en slumptalsgenerator. För Tärningskast och Slumptal använder sajten webbläsarens kryptografiska generator, som är gjord för att resultaten inte ska gå att förutsäga och för att varje tal i intervallet ska ha samma sannolikhet. Myntet använder webbläsarens slumptalsgenerator med 50 % för varje sida.
Två ärliga varningar. För det första är animationen på myntet bara visuell: resultatet avgörs innan det snurrar. För det andra är det normalt att resultatet ser ojämnt ut med få kast: på 100 myntkast är det vanliga mellan 40 och 60 kronor (cirka 96 % av gångerna) och inte exakt 50.
Vanliga frågor
Om det blev fem kronor i rad, är det mer sannolikt att det blir klave nu?
Nej. Varje kast är oberoende, så det sjätte har återigen 50 % chans för krona och 50 % för klave. Att tro motsatsen är spelarens felslut.
Vad är sannolikheten att få 3 kronor i rad?
Den är 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, alltså 12,5 %. För 5 kronor i rad är den 1/32, 3,125 %.
Varför kommer 7 oftare än 12 med två tärningar?
Därför att 7 bildas på sex sätt (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) av 36 kombinationer, 16,7 %, och 12 bara med 6+6, alltså 2,8 %.
Vilken sannolikhet finns det att få minst en sexa på 4 kast med en tärning?
1 − (5/6)^4, vilket är ungefär 51,8 %. Det räknas ut genom att dra bort från 1 sannolikheten att inte få någon sexa alls på de fyra kasten.
Är resultaten från myntet och tärningarna verkligen slumpmässiga?
De genereras med webbläsarens slumptalsgenerator, utan någon förskjutning mot någon sida. De duger för att avgöra saker och för att spela, men inte som bevis på en officiell dragning.