Чесна монетка й незалежні події
Чесна монетка має імовірність 1/2 (50 %) випасти орлом і 1/2 — решкою. Головне, що кожне підкидання незалежне: монетка не має пам'яті. Якщо п'ять разів поспіль випав орел, шосте підкидання все одно дає 50 на 50.
Протилежне переконання називають помилкою гравця: думати, що решці «вже пора». Правда в тому, що п'ять орлів поспіль, якщо дивитися наперед, — малоймовірна подія (3,125 %). Але коли вони вже випали, ці п'ять підкидань — минуле й не впливають на наступне.
Скільки орлів поспіль: правило 1/2^n
Оскільки підкидання незалежні, імовірності перемножуються. Для n орлів поспіль (або n решок, або будь-якої конкретної послідовності, яку ви обрали наперед) імовірність дорівнює 1/2, помноженому саме на себе n разів, тобто 1/2^n.
| Підкидань поспіль | Обчислення | Імовірність |
|---|---|---|
| 1 орел | 1/2 | 50 % |
| 2 орли | 1/4 | 25 % |
| 3 орли | 1/8 | 12,5 % |
| 4 орли | 1/16 | 6,25 % |
| 5 орлів | 1/32 | 3,125 % |
| 6 орлів | 1/64 | 1,5625 % |
| 8 орлів | 1/256 | бл. 0,39 % |
| 10 орлів | 1/1 024 | бл. 0,098 % |
Остерігайтеся поширеної пастки: 1/32 — це імовірність того, що перші п'ять підкидань будуть орлами, але якщо кидати багато разів, серія з п'яти однакових результатів у якийсь момент є звичайною. У 100 підкиданнях імовірність того, що десь з'явиться серія щонайменше з 5 однакових (орлів або решок), становить близько 97 %, а серія щонайменше з 6 — близько 81 %. Довга серія в довгому ряді не означає, що монетка фальшива.
Один кубик та імовірність викинути хоча б одну шістку
Чесний шестигранний кубик дає кожне число з імовірністю 1/6, приблизно 16,7 %. Щоб дізнатися шанс викинути хоча б одну шістку за кілька кидків, зручно порахувати протилежне: імовірність не викинути жодної шістки в усіх кидках — це (5/6) у степені кількості кидків, і відняти її від 1.
Для 4 кидків: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1 296 = 0,5177, тобто приблизно 51,8 %. Іншими словами, якщо кинути кубик чотири рази, викинути шістку трохи ймовірніше, ніж не викинути.
| Кидків одного кубика | Імовірність хоча б однієї шістки |
|---|---|
| 1 | бл. 16,7 % |
| 2 | бл. 30,6 % |
| 3 | бл. 42,1 % |
| 4 | бл. 51,8 % |
| 6 | бл. 66,5 % |
| 8 | бл. 76,7 % |
Зверніть увагу: за 6 кидків до 100 % не доходить: шість шансів по 1/6 не дають певності. Кожен новий кидок лише трохи зменшує імовірність і далі лишатися без шістки.
Два кубики: чому 7 — найчастіша сума
З двома шестигранними кубиками є 6 × 6 = 36 однаково ймовірних комбінацій. Суми не є однаково ймовірними, бо деякі можна скласти більшою кількістю способів. Двійка випадає лише як 1+1; сімка — як 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 і 6+1, тобто шістьма різними способами.
| Сума | Комбінації | Імовірність |
|---|---|---|
| 2 | 1 з 36 | бл. 2,8 % |
| 3 | 2 з 36 | бл. 5,6 % |
| 4 | 3 з 36 | бл. 8,3 % |
| 5 | 4 з 36 | бл. 11,1 % |
| 6 | 5 з 36 | бл. 13,9 % |
| 7 | 6 з 36 | бл. 16,7 % |
| 8 | 5 з 36 | бл. 13,9 % |
| 9 | 4 з 36 | бл. 11,1 % |
| 10 | 3 з 36 | бл. 8,3 % |
| 11 | 2 з 36 | бл. 5,6 % |
| 12 | 1 з 36 | бл. 2,8 % |
Інші факти з тієї самої таблиці: викинути дві шістки — це 1/36 (бл. 2,8 %), викинути два однакові числа (дубль) — це 6/36 = 1/6, а викинути хоча б одну шістку в одному кидку двох кубиків — це 11/36 (бл. 30,6 %), так само як і кинути один кубик двічі. Кинути дванадцятигранний кубик — не те саме, що кинути два шестигранні: d12 дає 7 з імовірністю 1/12 (бл. 8,3 %), тоді як 2d6 дають її з імовірністю 1/6.
Рольові кубики: d4, d6, d8, d10, d12 і d20
Число після «d» — це кількість граней: d20 дає число від 1 до 20 з однаковою імовірністю, тобто по 5 % кожне. Середнє значення кубика з n гранями від 1 до n дорівнює (n + 1) / 2: 3,5 для d6 і 10,5 для d20.
Багато рольових ігор використовують правило переваги й недоліку: ви кидаєте два d20 і залишаєте більший (перевага) або менший (недолік). Обчислення на 400 можливих комбінацій такі:
| Мета | Один d20 | З перевагою | З недоліком |
|---|---|---|---|
| Викинути 11 або більше | 50 % | 75 % | 25 % |
| Викинути 15 або більше | 30 % | 51 % | 9 % |
| Викинути 20 | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Середній результат | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
Перевага не додає 10 очок: якщо потрібно 11 або більше, шанс зростає з 50 % до 75 %; для 20 — із 5 % до 9,75 %. Ефект більший, коли мета посередині шкали. До того ж інструмент не застосовує жодних ігрових правил, тож для цього киньте два d20 і самі візьміть більший або менший.
Як користуватися «Підкиданням монетки», «Кубиками» та «Випадковим числом»
- У «Підкиданні монетки» виберіть, скільки монет потрібно (до 10), і натисніть «Підкинути монетку» або клавішу пропуску. З'явиться кожна монетка, стислий результат і, внизу, накопичений підрахунок. Кнопка «Скинути підрахунок» починає з нуля.
- У «Кубиках» виберіть кількість (від 1 до 10) і «Грані» (4, 6, 8, 10, 12, 20 або 100) та натисніть «Кинути». Ви побачите кожен кубик, суму та історію кидків, яку можна очистити кнопкою «Очистити історію».
- У «Випадковому числі» задайте мінімум, максимум (обидва включно) і кількість. Якщо не хочете повторів, увімкніть «Без повторів» і натисніть «Згенерувати».
- Щоб перевірити таблиці з цього посібника, багато разів підкиньте 10 монет: найчастіше випадає 5 орлів (24,6 % підкидань), а від 4 до 6 орлів разом становлять приблизно 65,6 %. 0 або 10 орлів трапляються приблизно в одному підкиданні з 512.
Усе обчислюється на вашому пристрої, нічого не надсилається на сервер. Підрахунок монетки та історія кубиків зникають під час перезавантаження сторінки.
Як чесно вирішити щось жеребом
Для двох варіантів найпростіше підкинути монетку. Для більшої кількості скористайтеся кубиком або випадковим числом, призначивши кожному варіанту число. Корисний прийом: якщо варіантів чотири, підкиньте монетку двічі (ОО, ОР, РО, РР) або киньте d4. Якщо їх п'ять або більше, краще взяти випадкове число з точним діапазоном.
Бажано, щоб жереб був прозорим: щоб усі бачили екран і щоб правила узгодили заздалегідь (яка сторона відповідає якому варіанту та що зараховується перше підкидання). Змінювати рішення після того, як побачили результат, — означає позбавити жереб будь-якої чесності. Для розіграшів із юридичними наслідками або з нотаріусом одного онлайн-інструмента недостатньо.
Що означає «випадково» у браузері
Комп'ютер нічого не підкидає: він використовує генератор випадкових чисел. Для «Кубиків» і «Випадкового числа» сайт застосовує криптографічний генератор браузера, призначений для того, щоб результати не можна було передбачити і щоб кожне число діапазону мало однакову імовірність. Для монетки використовується генератор випадкових чисел браузера з 50 % для кожної сторони.
Два чесні застереження. По-перше, в монетки анімація лише візуальна: результат визначається ще до того, як вона обертається. По-друге, за невеликої кількості підкидань нормально, що результат виглядає нерівномірним: у 100 підкиданнях монетки звичайний результат — від 40 до 60 орлів (приблизно в 96 % випадків), а не рівно 50.
Поширені запитання
Якщо п'ять разів поспіль випав орел, чи ймовірніше, що тепер випаде решка?
Ні. Кожне підкидання незалежне, тож у шостого знову 50 % орла й 50 % решки. Думати інакше — це помилка гравця.
Яка імовірність викинути 3 орли поспіль?
Це 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, тобто 12,5 %. Для 5 орлів поспіль це 1/32, тобто 3,125 %.
Чому з двома кубиками сімка випадає частіше за дванадцятку?
Тому що сімка складається шістьма способами (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) з 36 комбінацій, тобто 16,7 %, а дванадцятка — лише як 6+6, тобто 2,8 %.
Яка імовірність викинути хоча б одну шістку за 4 кидки кубика?
1 − (5/6)^4, тобто приблизно 51,8 %. Це обчислюють, віднімаючи від 1 імовірність не викинути жодної шістки в усіх чотирьох кидках.
Чи справді результати монетки й кубиків випадкові?
Їх створює генератор випадкових чисел браузера, без упередження до жодної сторони. Вони годяться, щоб вирішувати й грати, але не як підтвердження офіційного розіграшу.