מטבע הוגן ואירועים בלתי תלויים
למטבע הוגן יש הסתברות של 1/2 (50%) ליפול על עץ ו-1/2 ליפול על פלי. הדבר החשוב הוא שכל הטלה בלתי תלויה: למטבע אין זיכרון. אם יצאו חמש פעמים עץ ברצף, ההטלה השישית עדיין 50 ל-50.
להאמין אחרת נקרא הכשל של המהמר: לחשוב ש«הגיע תורו» של הפלי. מה שכן נכון הוא שחמש פעמים עץ ברצף, כשמסתכלים מראש, הוא אירוע לא סביר (3.125%). אבל ברגע שזה כבר קרה, חמש ההטלות האלה הן עבר ולא משפיעות על הבאה.
כמה פעמים עץ ברצף: הכלל 1/2^n
מכיוון שההטלות בלתי תלויות, ההסתברויות מוכפלות. עבור n פעמים עץ ברצף (או n פעמים פלי, או כל רצף מסוים שבחרתם מראש) ההסתברות היא 1/2 כפול עצמו n פעמים, כלומר 1/2^n.
| הטלות ברצף | חישוב | הסתברות |
|---|---|---|
| 1 עץ | 1/2 | 50% |
| 2 עץ | 1/4 | 25% |
| 3 עץ | 1/8 | 12.5% |
| 4 עץ | 1/16 | 6.25% |
| 5 עץ | 1/32 | 3.125% |
| 6 עץ | 1/64 | 1.5625% |
| 8 עץ | 1/256 | כ-0.39% |
| 10 עץ | 1/1,024 | כ-0.098% |
שימו לב למלכודת נפוצה: 1/32 היא ההסתברות שחמש ההטלות הראשונות יהיו עץ, אבל אם מטילים הרבה פעמים, רצף של חמש זהות בשלב כלשהו הוא דבר רגיל. ב-100 הטלות, ההסתברות שיופיע בנקודה כלשהי רצף של לפחות 5 מאותו צד (עץ או פלי) היא כ-97%, ושל לפחות 6 כ-81%. רצף ארוך בסדרה ארוכה אינו סימן שהמטבע מזויף.
קובייה אחת והסיכוי לקבל לפחות 6 אחד
קובייה הוגנת בעלת שש פאות נותנת כל מספר בהסתברות 1/6, בערך 16.7%. כדי לדעת מה הסיכוי לקבל לפחות 6 אחד בכמה הטלות, כדאי לחשב את ההפך: ההסתברות לא לקבל אף 6 בכל ההטלות, שהיא (5/6) בחזקת מספר ההטלות, ולהחסיר אותה מ-1.
עם 4 הטלות: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1,296 = 0.5177, כלומר בערך 51.8%. כלומר, כשמטילים קובייה ארבע פעמים סביר מעט יותר לקבל 6 מאשר לא לקבל.
| הטלות של קובייה אחת | הסתברות לפחות ל-6 אחד |
|---|---|
| 1 | כ-16.7% |
| 2 | כ-30.6% |
| 3 | כ-42.1% |
| 4 | כ-51.8% |
| 6 | כ-66.5% |
| 8 | כ-76.7% |
שימו לב שעם 6 הטלות לא מגיעים ל-100%: שש הזדמנויות של 1/6 לא מסתכמות בוודאות. כל הטלה חדשה רק מקטינה מעט את ההסתברות להמשיך בלי 6.
שתי קוביות: למה 7 הוא הסכום השכיח ביותר
בשתי קוביות בנות שש פאות יש 6 × 6 = 36 צירופים בעלי סיכוי שווה. הסכומים אינם בעלי סיכוי שווה כי חלקם אפשר להרכיב בהרבה דרכים. 2 יוצא רק עם 1+1; 7 יוצא עם 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 ו-6+1, שש דרכים שונות.
| סכום | צירופים | הסתברות |
|---|---|---|
| 2 | 1 מתוך 36 | כ-2.8% |
| 3 | 2 מתוך 36 | כ-5.6% |
| 4 | 3 מתוך 36 | כ-8.3% |
| 5 | 4 מתוך 36 | כ-11.1% |
| 6 | 5 מתוך 36 | כ-13.9% |
| 7 | 6 מתוך 36 | כ-16.7% |
| 8 | 5 מתוך 36 | כ-13.9% |
| 9 | 4 מתוך 36 | כ-11.1% |
| 10 | 3 מתוך 36 | כ-8.3% |
| 11 | 2 מתוך 36 | כ-5.6% |
| 12 | 1 מתוך 36 | כ-2.8% |
עוד נתונים שנובעים מאותה טבלה: לקבל שתי שישיות הוא 1/36 (כ-2.8%), לקבל שני מספרים זהים (דאבל) הוא 6/36 = 1/6, ולקבל לפחות 6 אחד בהטלה של שתי קוביות הוא 11/36 (כ-30.6%), בדיוק כמו להטיל קובייה אחת פעמיים. להטיל קובייה בת 12 פאות זה לא כמו להטיל שתיים בנות 6: ה-d12 נותן 7 בהסתברות 1/12 (כ-8.3%), ואילו 2d6 נותן אותו בהסתברות 1/6.
קוביות משחקי תפקידים: d4, d6, d8, d10, d12 ו-d20
המספר שאחרי ה-«d» הוא מספר הפאות: d20 נותן מספר בין 1 ל-20 בסיכוי שווה, כלומר 5% לכל אחד. הממוצע של קובייה בת n פאות שנעה בין 1 ל-n הוא (n + 1) / 2: 3.5 ל-d6, 10.5 ל-d20.
הרבה משחקי תפקידים משתמשים בכלל של יתרון וחיסרון: מטילים שני d20 ולוקחים את הגבוה (יתרון) או את הנמוך (חיסרון). החישובים, מתוך 400 צירופים אפשריים, הם אלה:
| מטרה | d20 אחד | עם יתרון | עם חיסרון |
|---|---|---|---|
| לקבל 11 ומעלה | 50% | 75% | 25% |
| לקבל 15 ומעלה | 30% | 51% | 9% |
| לקבל 20 | 5% | 9.75% | 0.25% |
| ממוצע התוצאה | 10.5 | 13.825 | 7.175 |
היתרון לא מוסיף 10 נקודות: כשצריך 11 ומעלה, הסיכוי עולה מ-50% ל-75%; ל-20, מ-5% ל-9.75%. ההשפעה גדולה יותר כשהיעד נמצא באמצע הסולם. מעבר לזה, הכלי לא מפעיל שום כלל משחק, ולכן כדי לעשות זאת הטילו שני d20 ובחרו בעצמכם את הגבוה או את הנמוך.
איך משתמשים ב«הטלת מטבע», «הטלת קוביות» ו«מספר אקראי»
- ב«הטלת מטבע» בחרו כמה מטבעות אתם רוצים (עד 10) ולחצו על «הטלת מטבע» או על מקש הרווח. מוצג כל מטבע, התוצאה בקיצור ולמטה הספירה המצטברת. עם «איפוס הספירה» מתחילים מאפס.
- ב«הטלת קוביות» בחרו את הכמות (מ-1 עד 10) ואת מספר הפאות (4, 6, 8, 10, 12, 20 או 100) ולחצו על «הטלה». תראו כל קובייה, את הסכום והיסטוריית הטלות שאפשר לרוקן עם «ניקוי היסטוריה».
- ב«מספר אקראי» הגדירו מינימום, מקסימום (שניהם כלולים) וכמות. אם אתם רוצים שהמספרים לא יחזרו, הפעילו «בלי מספרים חוזרים» ולחצו על «יצירה».
- כדי לבדוק את הטבלאות במדריך הזה, הטילו 10 מטבעות הרבה פעמים: הנפוץ ביותר הוא 5 עץ (24.6% מההטלות), ומ-4 עד 6 עץ מסתכמים בערך ב-65.6%. לראות 0 או 10 עץ קורה בערך פעם ב-512 הטלות.
הכול מחושב במכשיר שלכם, בלי לשלוח דבר לשרת. ספירת המטבעות והיסטוריית הקוביות נעלמות כשטוענים את הדף מחדש.
להחליט משהו בהגינות
לשתי אפשרויות, עץ או פלי הוא הפשוט ביותר. ליותר, השתמשו בקובייה או במספר אקראי והצמידו אפשרות לכל מספר. טריק שימושי: אם יש לכם ארבע אפשרויות, הטילו מטבע פעמיים (עע, עפ, פע, פפ) או d4. אם יש חמש או יותר, עדיף מספר אקראי בטווח המדויק.
כדאי שההגרלה תהיה גלויה: שכולם יראו את המסך ושהכללים יוסכמו לפני ההטלה (איזה צד הוא כל אפשרות, ושההטלה הראשונה היא שקובעת). לשנות את דעתכם אחרי שראיתם את התוצאה מבטל כל הגינות. להגרלות עם השלכות משפטיות או כאלה שדורשות נוטריון, כלי אונליין לא מספיק.
מה פירוש אקראי בדפדפן
מחשב לא מטיל שום דבר: הוא משתמש במחולל מספרים אקראיים. ב«הטלת קוביות» וב«מספר אקראי», האתר משתמש במחולל הקריפטוגרפי של הדפדפן, שנועד לכך שלא ניתן יהיה לחזות את התוצאות ושלכל מספר בטווח תהיה אותה הסתברות. המטבע משתמש במחולל המספרים האקראיים של הדפדפן עם 50% לכל צד.
שתי אזהרות כנות. ראשית, במטבע האנימציה היא רק ויזואלית: התוצאה נקבעת לפני שהוא מסתובב. שנית, עם מעט הטלות הגיוני שהתוצאה תיראה לא מאוזנת: ב-100 הטלות מטבע, הרגיל הוא בין 40 ל-60 עץ (כ-96% מהפעמים) ולא בדיוק 50.
שאלות נפוצות
אם יצאו חמש פעמים עץ ברצף, האם סביר יותר שעכשיו יצא פלי?
לא. כל הטלה בלתי תלויה, ולכן בשישית שוב יש 50% לעץ ו-50% לפלי. לחשוב אחרת זה הכשל של המהמר.
מה ההסתברות לקבל 3 פעמים עץ ברצף?
היא 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, כלומר 12.5%. ל-5 פעמים עץ ברצף היא 1/32, שהם 3.125%.
למה בשתי קוביות 7 יוצא יותר מ-12?
כי 7 נוצר בשש דרכים (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) מתוך 36 צירופים, 16.7%, ו-12 רק עם 6+6, כלומר 2.8%.
מה ההסתברות לקבל לפחות 6 אחד ב-4 הטלות של קובייה?
1 − (5/6)^4, שהיא בערך 51.8%. מחשבים זאת על ידי החסרה מ-1 של ההסתברות לא לקבל אף 6 בארבע ההטלות.
האם התוצאות של המטבע והקוביות אקראיות באמת?
הן נוצרות במחולל המספרים האקראיים של הדפדפן, בלי הטיה לאף צד. הן מתאימות להחלטות ולמשחק, אבל לא כאסמכתא להגרלה רשמית.