Die faire Münze und unabhängige Ereignisse
Eine faire Münze fällt mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 (50 %) auf Kopf und mit 1/2 auf Zahl. Wichtig ist, dass jeder Wurf unabhängig ist: Die Münze hat kein Gedächtnis. Waren es fünfmal Kopf hintereinander, ist der sechste Wurf weiterhin 50 zu 50.
Das Gegenteil zu glauben heißt Spielerfehlschluss: zu denken, dass „jetzt die Zahl dran ist“. Richtig ist, dass fünfmal Kopf hintereinander, im Voraus betrachtet, ein unwahrscheinliches Ereignis ist (3,125 %). Aber sobald es passiert ist, sind diese fünf Würfe Vergangenheit und beeinflussen den nächsten nicht.
Wie oft Kopf hintereinander: die Regel 1/2^n
Da die Würfe unabhängig sind, werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Für n-mal Kopf hintereinander (oder n-mal Zahl oder irgendeine konkrete Folge, die du vorher festlegst) ist die Wahrscheinlichkeit 1/2, n-mal mit sich selbst multipliziert, also 1/2^n.
| Würfe hintereinander | Rechnung | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 1-mal Kopf | 1/2 | 50 % |
| 2-mal Kopf | 1/4 | 25 % |
| 3-mal Kopf | 1/8 | 12,5 % |
| 4-mal Kopf | 1/16 | 6,25 % |
| 5-mal Kopf | 1/32 | 3,125 % |
| 6-mal Kopf | 1/64 | 1,5625 % |
| 8-mal Kopf | 1/256 | ca. 0,39 % |
| 10-mal Kopf | 1/1.024 | ca. 0,098 % |
Vorsicht vor einer häufigen Falle: 1/32 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten fünf Würfe Kopf sind, aber wirfst du oft, ist irgendwann eine Serie von fünf gleichen völlig normal. Bei 100 Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwo eine Serie von mindestens 5 auf derselben Seite (Kopf oder Zahl) vorkommt, bei etwa 97 %, bei mindestens 6 bei etwa 81 %. Eine lange Serie in einer langen Reihe ist kein Zeichen dafür, dass die Münze gezinkt ist.
Ein Würfel und die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6
Ein fairer sechsseitiger Würfel zeigt jede Zahl mit der Wahrscheinlichkeit 1/6, etwa 16,7 %. Um die Chance auf mindestens eine 6 in mehreren Würfen zu kennen, rechnest du am besten das Gegenteil: die Wahrscheinlichkeit, in allen Würfen keine 6 zu werfen, also (5/6) hoch Anzahl der Würfe, und ziehst sie von 1 ab.
Bei 4 Würfen: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1.296 = 0,5177, also etwa 51,8 %. Wirfst du einen Würfel viermal, ist es also etwas wahrscheinlicher, eine 6 zu bekommen, als keine.
| Würfe mit einem Würfel | Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6 |
|---|---|
| 1 | ca. 16,7 % |
| 2 | ca. 30,6 % |
| 3 | ca. 42,1 % |
| 4 | ca. 51,8 % |
| 6 | ca. 66,5 % |
| 8 | ca. 76,7 % |
Beachte, dass du mit 6 Würfen nicht auf 100 % kommst: Sechs Chancen von je 1/6 ergeben noch keine Gewissheit. Jeder weitere Wurf verkleinert die Wahrscheinlichkeit, noch keine 6 zu haben, nur ein Stück.
Zwei Würfel: warum die 7 die häufigste Summe ist
Mit zwei sechsseitigen Würfeln gibt es 6 × 6 = 36 gleich wahrscheinliche Kombinationen. Die Summen sind nicht gleich wahrscheinlich, weil manche sich auf mehr Arten bilden lassen. Die 2 gibt es nur mit 1+1; die 7 mit 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 und 6+1, also auf sechs verschiedene Arten.
| Summe | Kombinationen | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 2 | 1 von 36 | ca. 2,8 % |
| 3 | 2 von 36 | ca. 5,6 % |
| 4 | 3 von 36 | ca. 8,3 % |
| 5 | 4 von 36 | ca. 11,1 % |
| 6 | 5 von 36 | ca. 13,9 % |
| 7 | 6 von 36 | ca. 16,7 % |
| 8 | 5 von 36 | ca. 13,9 % |
| 9 | 4 von 36 | ca. 11,1 % |
| 10 | 3 von 36 | ca. 8,3 % |
| 11 | 2 von 36 | ca. 5,6 % |
| 12 | 1 von 36 | ca. 2,8 % |
Weitere Daten aus derselben Tabelle: zwei Sechsen sind 1/36 (ca. 2,8 %), zwei gleiche Zahlen (ein Pasch) sind 6/36 = 1/6, und mindestens eine 6 bei einem Wurf mit zwei Würfeln sind 11/36 (ca. 30,6 %), genauso wie bei zweimal Würfeln mit einem Würfel. Ein zwölfseitiger Würfel ist nicht dasselbe wie zwei sechsseitige: Der W12 liefert die 7 mit 1/12 (ca. 8,3 %), 2W6 dagegen mit 1/6.
Rollenspielwürfel: W4, W6, W8, W10, W12 und W20
Die Zahl nach dem „W“ ist die Anzahl der Seiten: Ein W20 zeigt mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Zahl von 1 bis 20, also je 5 %. Der Durchschnitt eines Würfels mit n Seiten von 1 bis n ist (n + 1) / 2: 3,5 beim W6, 10,5 beim W20.
Viele Rollenspiele nutzen die Regel von Vorteil und Nachteil: Du wirfst zwei W20 und behältst den höheren (Vorteil) oder den niedrigeren (Nachteil). Die Rechnungen über 400 mögliche Kombinationen sind diese:
| Ziel | Ein W20 | Mit Vorteil | Mit Nachteil |
|---|---|---|---|
| 11 oder mehr würfeln | 50 % | 75 % | 25 % |
| 15 oder mehr würfeln | 30 % | 51 % | 9 % |
| Eine 20 würfeln | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Durchschnitt des Ergebnisses | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
Der Vorteil addiert keine 10 Punkte: Wenn du eine 11 oder mehr brauchst, steigt er von 50 % auf 75 %; für eine 20 von 5 % auf 9,75 %. Der Effekt ist größer, wenn das Ziel in der Mitte der Skala liegt. Außerdem wendet das Tool keine Spielregel an: Wirf dafür zwei W20 und nimm selbst den höheren oder den niedrigeren.
So nutzt du Münzwurf, Würfel werfen und Zufallszahl
- Wähle bei „Münzwurf“, wie viele Münzen du willst (bis zu 10), und tippe auf „Münze werfen“ oder drücke die Leertaste. Du siehst jede Münze, das zusammengefasste Ergebnis und unten die laufende Zählung. Mit „Zähler zurücksetzen“ beginnst du bei null.
- Wähle bei „Würfel werfen“ die Anzahl (1 bis 10) und die Seiten (4, 6, 8, 10, 12, 20 oder 100) und tippe auf „Würfeln“. Du siehst jeden Würfel, die Summe und einen Verlauf der Würfe, den du mit „Verlauf löschen“ leeren kannst.
- Lege bei „Zufallszahl“ das Minimum, das Maximum (beide eingeschlossen) und die Anzahl fest. Willst du keine Wiederholungen, aktiviere „Ohne Wiederholungen“ und tippe auf „Erzeugen“.
- Um die Tabellen dieses Ratgebers zu prüfen, wirf viele Male 10 Münzen: Am häufigsten sind 5-mal Kopf (24,6 % der Würfe), und 4- bis 6-mal Kopf zusammen ergeben etwa 65,6 %. 0- oder 10-mal Kopf kommt etwa bei 1 von 512 Würfen vor.
Alles wird auf deinem Gerät berechnet, ohne etwas an einen Server zu senden. Die Zählung der Münze und der Würfelverlauf gehen beim Neuladen der Seite verloren.
Fair entscheiden
Bei zwei Optionen ist Kopf oder Zahl am einfachsten. Bei mehr nimm einen Würfel oder eine Zufallszahl und ordne jeder Zahl eine Option zu. Ein nützlicher Trick: Bei vier Optionen wirfst du eine Münze zweimal (KK, KZ, ZK, ZZ) oder einen W4. Bei fünf oder mehr ist eine Zufallszahl mit dem genauen Bereich besser.
Die Auslosung sollte sichtbar sein: Alle sehen den Bildschirm, und die Regeln werden vor dem Wurf vereinbart (welche Seite welche Option ist und dass der erste Wurf gilt). Seine Meinung nach dem Ergebnis zu ändern, nimmt jede Fairness. Für Verlosungen mit rechtlichen Folgen oder notarieller Aufsicht reicht ein Online-Tool nicht.
Was „zufällig“ im Browser bedeutet
Ein Computer wirft nichts: Er nutzt einen Zufallszahlengenerator. Bei Würfel werfen und Zufallszahl verwendet die Seite den kryptografischen Generator des Browsers, der so gebaut ist, dass sich die Ergebnisse nicht vorhersagen lassen und jede Zahl des Bereichs dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Die Münze nutzt den Zufallszahlengenerator des Browsers mit 50 % für jede Seite.
Zwei ehrliche Hinweise. Erstens ist die Animation bei der Münze nur optisch: Das Ergebnis steht fest, bevor sie sich dreht. Zweitens wirkt das Ergebnis bei wenigen Würfen normalerweise ungleichmäßig: Bei 100 Münzwürfen sind meist zwischen 40 und 60 Mal Kopf zu erwarten (in etwa 96 % der Fälle) und nicht genau 50.
Häufige Fragen
Wenn fünfmal Kopf hintereinander kam, ist jetzt eher Zahl wahrscheinlich?
Nein. Jeder Wurf ist unabhängig, der sechste hat also wieder 50 % für Kopf und 50 % für Zahl. Das Gegenteil zu denken ist der Spielerfehlschluss.
Wie wahrscheinlich ist dreimal Kopf hintereinander?
Es ist 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, also 12,5 %. Für fünfmal Kopf hintereinander sind es 1/32, 3,125 %.
Warum kommt bei zwei Würfeln die 7 öfter als die 12?
Weil sich die 7 auf sechs Arten bildet (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) von 36 Kombinationen, 16,7 %, und die 12 nur mit 6+6, also 2,8 %.
Wie wahrscheinlich ist mindestens eine 6 in 4 Würfen mit einem Würfel?
1 − (5/6)^4, das sind etwa 51,8 %. Man berechnet es, indem man von 1 die Wahrscheinlichkeit abzieht, in allen vier Würfen keine 6 zu werfen.
Sind die Ergebnisse von Münze und Würfeln wirklich zufällig?
Sie werden mit dem Zufallszahlengenerator des Browsers erzeugt, ohne Vorliebe für eine Seite. Sie taugen zum Entscheiden und Spielen, aber nicht als Nachweis für eine offizielle Auslosung.