Spravedlivá mince a nezávislé jevy
Spravedlivá mince má pravděpodobnost 1/2 (50 %), že padne hlava, a 1/2, že padne orel. Důležité je, že každý hod je nezávislý: mince si nic nepamatuje. Pokud padlo pět hlav po sobě, šestý hod má stále šanci 50 na 50.
Věřit opaku se nazývá omyl hráče: myslet si, že «teď už musí padnout» orel. Pravda je, že pět hlav po sobě je, posuzováno předem, málo pravděpodobný jev (3,125 %). Jakmile ale nastal, je těch pět hodů minulostí a další hod neovlivňují.
Kolik hlav po sobě: pravidlo 1/2^n
Protože jsou hody nezávislé, pravděpodobnosti se násobí. Pro n hlav po sobě (nebo n orlů, nebo jakoukoli konkrétní posloupnost, kterou zvolíte předem) je pravděpodobnost 1/2 vynásobená samo sebou n-krát, tedy 1/2^n.
| Hody po sobě | Výpočet | Pravděpodobnost |
|---|---|---|
| 1 hlava | 1/2 | 50 % |
| 2 hlavy | 1/4 | 25 % |
| 3 hlavy | 1/8 | 12,5 % |
| 4 hlavy | 1/16 | 6,25 % |
| 5 hlav | 1/32 | 3,125 % |
| 6 hlav | 1/64 | 1,5625 % |
| 8 hlav | 1/256 | přibl. 0,39 % |
| 10 hlav | 1/1 024 | přibl. 0,098 % |
Pozor na častou past: 1/32 je pravděpodobnost, že prvních pět hodů budou hlavy, ale pokud házíte hodněkrát, série pěti stejných je někdy normální. Ve 100 hodech je pravděpodobnost, že se někde objeví série alespoň 5 stejných (hlav nebo orlů), kolem 97 %, a alespoň 6 stejných kolem 81 %. Dlouhá série v dlouhé řadě hodů není známkou toho, že je mince cinknutá.
Jedna kostka a pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka
Spravedlivá šestistěnná kostka dává každé číslo s pravděpodobností 1/6, přibližně 16,7 %. Chcete-li zjistit šanci, že padne alespoň jedna šestka při více hodech, vyplatí se spočítat opak: pravděpodobnost, že ve všech hodech nepadne žádná šestka, což je (5/6) na počet hodů, a odečíst ji od 1.
Se 4 hody: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1 296 = 0,5177, tedy přibližně 51,8 %. Při čtyřech hodech jednou kostkou je tedy o něco pravděpodobnější, že šestka padne, než že nepadne.
| Hody jednou kostkou | Pravděpodobnost alespoň jedné šestky |
|---|---|
| 1 | přibl. 16,7 % |
| 2 | přibl. 30,6 % |
| 3 | přibl. 42,1 % |
| 4 | přibl. 51,8 % |
| 6 | přibl. 66,5 % |
| 8 | přibl. 76,7 % |
Všimněte si, že se 6 hody nedosáhnete 100 %: šest šancí 1/6 nedává jistotu. Každý další hod jen o málo sníží pravděpodobnost, že šestka stále nepadla.
Dvě kostky: proč je sedmička nejčastější součet
U dvou šestistěnných kostek existuje 6 × 6 = 36 stejně pravděpodobných kombinací. Součty nejsou stejně pravděpodobné, protože některé lze vytvořit více způsoby. Dvojka padne jen jako 1+1; sedmička jako 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 a 6+1, tedy šesti různými způsoby.
| Součet | Kombinace | Pravděpodobnost |
|---|---|---|
| 2 | 1 z 36 | přibl. 2,8 % |
| 3 | 2 z 36 | přibl. 5,6 % |
| 4 | 3 z 36 | přibl. 8,3 % |
| 5 | 4 z 36 | přibl. 11,1 % |
| 6 | 5 z 36 | přibl. 13,9 % |
| 7 | 6 z 36 | přibl. 16,7 % |
| 8 | 5 z 36 | přibl. 13,9 % |
| 9 | 4 z 36 | přibl. 11,1 % |
| 10 | 3 z 36 | přibl. 8,3 % |
| 11 | 2 z 36 | přibl. 5,6 % |
| 12 | 1 z 36 | přibl. 2,8 % |
Další údaje plynoucí ze stejné tabulky: hodit dvě šestky je 1/36 (přibl. 2,8 %), hodit dvě stejná čísla (pár) je 6/36 = 1/6 a hodit alespoň jednu šestku jedním hodem dvou kostek je 11/36 (přibl. 30,6 %), stejně jako hodit jednu kostku dvakrát. Hodit dvanáctistěnnou kostkou není totéž co dvěma šestistěnnými: d12 dává sedmičku s pravděpodobností 1/12 (přibl. 8,3 %), zatímco 2d6 s pravděpodobností 1/6.
Kostky do RPG: d4, d6, d8, d10, d12 a d20
Číslo za písmenem «d» je počet stěn: d20 dává číslo od 1 do 20 se stejnou pravděpodobností, tedy 5 % pro každé. Průměr kostky o n stěnách, jež jde od 1 do n, je (n + 1) / 2: 3,5 pro d6, 10,5 pro d20.
Mnoho her na hrdiny používá pravidlo výhody a nevýhody: hodíte dvěma d20 a necháte si vyšší (výhoda) nebo nižší (nevýhoda) výsledek. Výpočty ze 400 možných kombinací jsou tyto:
| Cíl | Jedno d20 | S výhodou | S nevýhodou |
|---|---|---|---|
| Hodit 11 nebo víc | 50 % | 75 % | 25 % |
| Hodit 15 nebo víc | 30 % | 51 % | 9 % |
| Hodit 20 | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Průměr výsledku | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
Výhoda nepřidává 10 bodů: pro potřebu 11 nebo víc se šance zvýší z 50 % na 75 %; pro 20 z 5 % na 9,75 %. Účinek je největší, když je cíl uprostřed stupnice. Nástroj navíc žádné herní pravidlo neuplatňuje, takže pro tento postup hoďte dvěma d20 a vyšší či nižší si ponechte sami.
Jak používat Hod mincí, Hod kostkou a Náhodné číslo
- V «Hod mincí» zvolte, kolik mincí chcete (až 10), a klepněte na «Hodit mincí» nebo stiskněte mezerník. Zobrazí se každá mince, shrnutý výsledek a níže průběžný součet. Tlačítkem «Vynulovat počítadlo» začnete od nuly.
- V «Hod kostkou» zvolte počet (od 1 do 10) a stěny (4, 6, 8, 10, 12, 20 nebo 100) a klepněte na «Hodit». Uvidíte každou kostku, celkový součet a historii hodů, kterou můžete vyprázdnit tlačítkem «Vymazat historii».
- V «Náhodné číslo» nastavte minimum, maximum (obě zahrnuty) a počet. Pokud nechcete opakování, zapněte «Bez opakujících se čísel» a klepněte na «Vygenerovat».
- Pro ověření tabulek z této příručky hoďte 10 mincemi mnohokrát: nejběžnější je 5 hlav (24,6 % hodů) a 4 až 6 hlav dohromady dává přibližně 65,6 %. Padnutí 0 nebo 10 hlav se stane přibližně jednou za 512 hodů.
Všechno se počítá ve vašem zařízení, bez odesílání čehokoli na server. Počet hozených mincí a historie kostek se po obnovení stránky ztratí.
Jak rozhodnout něco spravedlivě
Pro dvě možnosti je hod mincí nejjednodušší. Pro víc použijte kostku nebo náhodné číslo a přiřaďte každé možnosti jedno číslo. Užitečný trik: máte-li čtyři možnosti, hoďte mincí dvakrát (HH, HO, OH, OO) nebo kostkou d4. Máte-li pět či víc, je lepší náhodné číslo s přesným rozsahem.
Vyplatí se, aby bylo losování viditelné: ať všichni vidí obrazovku a pravidla se dohodnou předem (která strana je která možnost a že platí první hod). Změnit názor po spatření výsledku spravedlnost zcela ruší. Pro losování s právními důsledky nebo za přítomnosti notáře online nástroj nestačí.
Co znamená náhodné v prohlížeči
Počítač nic nehází: používá generátor náhodných čísel. U Hodu kostkou a Náhodného čísla web používá kryptografický generátor prohlížeče, určený k tomu, aby výsledky nešly předvídat a aby každé číslo z rozsahu mělo stejnou pravděpodobnost. Mince používá generátor náhodných čísel prohlížeče s 50 % pro každou stranu.
Dvě upřímná upozornění. Zaprvé, u mince je animace jen vizuální: výsledek se rozhodne dřív, než se začne točit. Zadruhé, při malém počtu hodů je normální, že výsledek vypadá nerovnoměrně: u 100 hodů mincí je obvyklé mezi 40 a 60 hlavami (asi v 96 % případů), a ne přesně 50.
Často kladené otázky
Když padlo pět hlav po sobě, je pravděpodobnější, že teď padne orel?
Ne. Každý hod je nezávislý, takže šestý má opět 50 % na hlavu a 50 % na orla. Myslet si opak je omyl hráče.
Jaká je pravděpodobnost, že padnou 3 hlavy po sobě?
Je to 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, tedy 12,5 %. Pro 5 hlav po sobě je to 1/32, 3,125 %.
Proč u dvou kostek padá sedmička častěji než dvanáctka?
Protože sedmička vzniká šesti způsoby (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) z 36 kombinací, 16,7 %, a dvanáctka jen jako 6+6, tedy 2,8 %.
Jaká je pravděpodobnost, že ve 4 hodech jednou kostkou padne alespoň jedna šestka?
1 − (5/6)^4, tedy přibližně 51,8 %. Počítá se tak, že se od 1 odečte pravděpodobnost, že ve všech čtyřech hodech nepadne žádná šestka.
Jsou výsledky mince a kostek skutečně náhodné?
Generují se generátorem náhodných čísel prohlížeče, bez zvýhodnění jakékoli strany. Hodí se k rozhodování a hraní, ale ne jako doklad o oficiálním losování.