Kop of munt en dobbelstenen: zo bereken je de kansen

De eerlijke munt en onafhankelijke gebeurtenissen

Een eerlijke munt heeft een kans van 1/2 (50 %) om op kop te vallen en 1/2 om op munt te vallen. Het belangrijkste is dat elke worp onafhankelijk is: de munt heeft geen geheugen. Als er vijf keer achter elkaar kop is gevallen, is de zesde worp nog steeds 50 en 50.

Het tegenovergestelde geloven heet de gokkersdrogreden: denken dat munt «nu aan de beurt is». Wat wel waar is, is dat vijf keer achter elkaar kop, vooraf bekeken, een onwaarschijnlijke gebeurtenis is (3,125 %). Maar zodra die vijf worpen gebeurd zijn, zijn ze verleden tijd en beïnvloeden ze de volgende niet.

Hoeveel keer achter elkaar kop: de regel 1/2^n

Omdat de worpen onafhankelijk zijn, vermenigvuldig je de kansen. Voor n keer achter elkaar kop (of n keer munt, of elke concrete reeks die je vooraf kiest) is de kans 1/2 met zichzelf vermenigvuldigd, n keer, dus 1/2^n.

Pas op voor een veelvoorkomende valkuil: 1/32 is de kans dat de eerste vijf worpen kop zijn, maar als je vaak gooit, is een reeks van vijf dezelfde op enig moment normaal. Bij 100 worpen ligt de kans dat er ergens een reeks van minstens 5 aan dezelfde kant voorkomt (kop of munt) rond de 97 %, en van minstens 6 rond de 81 %. Een lange reeks in een lange serie is geen teken dat de munt vervalst is.

Eén dobbelsteen en de kans op minstens één 6

Een eerlijke dobbelsteen met zes zijden geeft elk getal met kans 1/6, ongeveer 16,7 %. Om de kans op minstens één 6 in meerdere worpen te weten, kun je beter het tegenovergestelde berekenen: de kans om bij alle worpen geen enkele 6 te gooien, namelijk (5/6) tot de macht van het aantal worpen, en die van 1 aftrekken.

Met 4 worpen: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1.296 = 0,5177, dus ongeveer 51,8 %. Als je een dobbelsteen vier keer gooit, is het dus iets waarschijnlijker dat je een 6 gooit dan niet.

Merk op dat je met 6 worpen niet op 100 % uitkomt: zes kansen van 1/6 tellen niet op tot zekerheid. Elke nieuwe worp verkleint de kans om nog steeds geen 6 te hebben maar een beetje.

Twee dobbelstenen: waarom 7 de meest voorkomende som is

Met twee dobbelstenen met zes zijden zijn er 6 × 6 = 36 even waarschijnlijke combinaties. De sommen zijn niet even waarschijnlijk omdat sommige op meer manieren gevormd kunnen worden. De 2 komt alleen voor met 1+1; de 7 komt voor met 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 en 6+1, zes verschillende manieren.

Andere gegevens die uit dezelfde tabel volgen: twee zessen gooien is 1/36 (ca. 2,8 %), twee gelijke getallen gooien (een dubbel) is 6/36 = 1/6, en minstens één 6 gooien bij een worp met twee dobbelstenen is 11/36 (ca. 30,6 %), net als een dobbelsteen twee keer gooien. Een dobbelsteen met 12 zijden gooien is niet hetzelfde als twee van 6: de d12 geeft de 7 met 1/12 (ca. 8,3 %), terwijl 2d6 hem geeft met 1/6.

Rollenspeldobbelstenen: d4, d6, d8, d10, d12 en d20

Het getal na de «d» is het aantal zijden: een d20 geeft een getal van 1 tot 20 met gelijke kans, dus 5 % per getal. Het gemiddelde van een dobbelsteen met n zijden die van 1 tot n loopt is (n + 1) / 2: 3,5 voor een d6, 10,5 voor een d20.

Veel rollenspellen gebruiken de regel van voordeel en nadeel: je gooit twee d20 en houdt de hoogste (voordeel) of de laagste (nadeel). De berekeningen, op 400 mogelijke combinaties, zijn deze:

Voordeel telt er geen 10 punten bij: als je een 11 of meer nodig hebt, gaat de kans van 50 % naar 75 %; voor een 20 van 5 % naar 9,75 %. Het effect is groter als het doel in het midden van de schaal ligt. Bovendien past de tool geen spelregels toe, dus om dit te doen gooi je twee d20 en kies je zelf de hoogste of de laagste.

Zo gebruik je Kop of munt, Dobbelstenen en Willekeurig getal

1. Kies bij «Kop of munt» hoeveel munten je wilt (maximaal 10) en tik op «Munt opgooien» of druk op de spatiebalk. Je ziet elke munt, het samengevatte resultaat en daaronder de opgetelde telling. Met «Teller resetten» begin je opnieuw.
2. Kies bij «Dobbelstenen» het aantal (van 1 tot 10) en de zijden (4, 6, 8, 10, 12, 20 of 100) en tik op «Gooien». Je ziet elke dobbelsteen, het totaal en een geschiedenis van worpen die je kunt legen met «Geschiedenis wissen».
3. Stel bij «Willekeurig getal» het minimum, het maximum (beide inbegrepen) en het aantal in. Wil je geen herhalingen, zet dan «Geen herhaalde getallen» aan en tik op «Genereren».
4. Om de tabellen in deze gids te controleren, gooi je vaak 10 munten: het meest voorkomend zijn 5 keer kop (24,6 % van de worpen) en 4 tot 6 keer kop samen zijn ongeveer 65,6 %. 0 of 10 keer kop komt ongeveer 1 op de 512 worpen voor.

Alles wordt op je apparaat berekend, zonder iets naar een server te sturen. De telling van de munt en de geschiedenis van de dobbelstenen gaan verloren als je de pagina vernieuwt.

Eerlijk iets beslissen

Voor twee opties is kop of munt het eenvoudigst. Voor meer opties gebruik je een dobbelsteen of een willekeurig getal en wijs je aan elk getal een optie toe. Een handige truc: heb je vier opties, gooi dan een munt twee keer (KK, KM, MK, MM) of een d4. Heb je vijf of meer, dan is een willekeurig getal met het exacte bereik beter.

Het is verstandig om de loting zichtbaar te maken: iedereen kijkt naar het scherm en de regels worden vooraf afgesproken (welke kant bij welke optie hoort en dat de eerste worp geldt). Van gedachten veranderen nadat je het resultaat hebt gezien, haalt alle eerlijkheid weg. Voor loterijen met juridische gevolgen of met een notaris is een online tool niet genoeg.

Wat willekeurig betekent in de browser

Een computer gooit niets: hij gebruikt een generator van willekeurige getallen. Bij Dobbelstenen en Willekeurig getal gebruikt de site de cryptografische generator van de browser, bedoeld om resultaten onvoorspelbaar te maken en elk getal in het bereik dezelfde kans te geven. De munt gebruikt de generator van willekeurige getallen van de browser met 50 % voor elke kant.

Twee eerlijke waarschuwingen. Ten eerste is bij de munt de animatie alleen visueel: het resultaat wordt bepaald voordat hij draait. Ten tweede is het bij weinig worpen normaal dat het resultaat ongelijk lijkt: bij 100 muntworpen is meestal tussen 40 en 60 keer kop (ongeveer 96 % van de keren) en niet precies 50.

Veelgestelde vragen