Орёл или решка и кубики: как считать вероятности

Честная монета и независимые события

У честной монеты вероятность выпасть орлом равна 1/2 (50 %), и такая же вероятность выпасть решкой. Главное, что каждый бросок независим: у монеты нет памяти. Если подряд выпало пять орлов, шестой бросок всё равно даёт 50 на 50.

Считать иначе — значит поддаться ошибке игрока: думать, что решке «пора выпасть». Верно другое: пять орлов подряд, если заранее ждать именно этого, — событие маловероятное (3,125 %). Но когда они уже выпали, эти пять бросков — прошлое и на следующий не влияют.

Сколько орлов подряд: правило 1/2^n

Поскольку броски независимы, вероятности перемножаются. Для n орлов подряд (или n решек, или любой конкретной последовательности, выбранной заранее) вероятность равна 1/2, умноженной на себя n раз, то есть 1/2^n.

Осторожно, есть частая ловушка: 1/32 — это вероятность того, что первые пять бросков окажутся орлами, но если бросать много раз, серия из пяти одинаковых результатов когда-нибудь появится — это нормально. За 100 бросков вероятность увидеть где-нибудь серию как минимум из 5 одинаковых результатов (орлов или решек) составляет около 97 %, а как минимум из 6 — около 81 %. Длинная серия в длинном ряду бросков не означает, что монета подделана.

Один кубик и вероятность выбросить хотя бы одну шестёрку

Честный шестигранный кубик даёт каждое число с вероятностью 1/6, примерно 16,7 %. Чтобы узнать шанс выбросить хотя бы одну шестёрку за несколько бросков, удобно посчитать обратное: вероятность не выбросить ни одной шестёрки за все броски — это (5/6) в степени числа бросков, — и вычесть её из 1.

Для 4 бросков: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1 296 = 0,5177, то есть примерно 51,8 %. Иными словами, если бросить кубик четыре раза, шестёрка выпадет чуть вероятнее, чем не выпадет.

Обратите внимание: за 6 бросков до 100 % вы не доходите: шесть шансов по 1/6 в сумме не дают уверенности. Каждый новый бросок лишь немного уменьшает вероятность остаться без шестёрки.

Два кубика: почему семёрка — самая частая сумма

С двумя шестигранными кубиками есть 6 × 6 = 36 равновероятных комбинаций. Суммы не равновероятны, потому что одни можно получить большим числом способов. Двойка выпадает только как 1+1, а семёрка — как 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 и 6+1, то есть шестью разными способами.

Другие факты из той же таблицы: две шестёрки — это 1/36 (около 2,8 %), два одинаковых числа (дубль) — это 6/36 = 1/6, а хотя бы одна шестёрка при броске двух кубиков — это 11/36 (около 30,6 %), как и при двух бросках одного кубика. Бросить двенадцатигранный кубик — не то же самое, что два шестигранных: на d12 семёрка выпадает с вероятностью 1/12 (около 8,3 %), а на 2d6 — с вероятностью 1/6.

Ролевые кубики: d4, d6, d8, d10, d12 и d20

Число после «d» — это количество граней: d20 даёт число от 1 до 20 с одинаковой вероятностью, то есть по 5 % на каждое. Среднее значение кубика с n гранями от 1 до n равно (n + 1) / 2: 3,5 для d6 и 10,5 для d20.

Во многих ролевых играх действует правило преимущества и помехи: вы бросаете два d20 и берёте больший результат (преимущество) или меньший (помеха). Расчёты на 400 возможных комбинаций таковы:

Преимущество не прибавляет 10 очков: чтобы выбросить 11 или больше, шанс вырастает с 50 % до 75 %; для 20 — с 5 % до 9,75 %. Эффект сильнее всего, когда цель лежит в середине шкалы. Кроме того, инструмент не применяет никаких игровых правил, поэтому для такого броска бросьте два d20 и сами возьмите больший или меньший результат.

Как пользоваться «Орлом и решкой», «Бросить кубики» и «Случайным числом»

1. В «Орёл и решка» выберите, сколько монет нужно (до 10), и нажмите «Подбросить монету» или клавишу пробела. Показывается каждая монета, краткий итог, а ниже накопленный счёт. Кнопка «Сбросить счёт» начинает отсчёт с нуля.
2. В «Бросить кубики» выберите количество (от 1 до 10) и число граней (4, 6, 8, 10, 12, 20 или 100) и нажмите «Бросить». Вы увидите каждый кубик, сумму и историю бросков, которую можно очистить кнопкой «Очистить историю».
3. В «Случайное число» задайте минимум, максимум (оба включаются) и количество. Если числа не должны повторяться, включите «Без повторов» и нажмите «Сгенерировать».
4. Чтобы проверить таблицы из этого руководства, бросайте 10 монет много раз: чаще всего выпадает 5 орлов (24,6 % бросков), а от 4 до 6 орлов в сумме составляют примерно 65,6 %. 0 или 10 орлов выпадают примерно 1 раз из 512 бросков.

Всё вычисляется на вашем устройстве, ничего не отправляется на сервер. Счёт монеты и история кубиков теряются при перезагрузке страницы.

Как честно принять решение

Для двух вариантов проще всего орёл или решка. Для большего числа используйте кубик или случайное число, сопоставив каждому числу один вариант. Полезный приём: если вариантов четыре, бросьте монету дважды (ОО, ОР, РО, РР) или возьмите d4. Если пять и больше, лучше случайное число с точным диапазоном.

Жребий должен быть открытым: пусть все видят экран, а правила договорены до броска (какая сторона соответствует какому варианту и что засчитывается первый бросок). Передумать после того, как увидели результат, — значит убить всякую справедливость. Для розыгрышей с юридическими последствиями или нотариальным заверением онлайн-инструмента недостаточно.

Что значит «случайно» в браузере

Компьютер ничего не бросает: он использует генератор случайных чисел. В «Бросить кубики» и «Случайное число» сайт применяет криптографический генератор браузера, рассчитанный на то, чтобы результаты нельзя было предсказать, а каждое число диапазона имело одинаковую вероятность. Монета использует генератор случайных чисел браузера с вероятностью 50 % для каждой стороны.

Два честных предупреждения. Во-первых, у монеты анимация чисто визуальная: результат определяется до того, как она закрутится. Во-вторых, при малом числе бросков нормально, что результат выглядит неровным: в 100 бросках монеты обычно выпадает от 40 до 60 орлов (около 96 % случаев), а не ровно 50.

Частые вопросы