동전 던지기와 주사위: 확률 계산법

공정한 동전과 독립 사건

공정한 동전은 앞면이 나올 확률이 1/2(50%), 뒷면이 나올 확률도 1/2이에요. 중요한 점은 매번 던지는 일이 서로 독립이라는 거예요. 동전은 기억을 하지 못해요. 앞면이 다섯 번 연속 나왔어도 여섯 번째 던지기는 여전히 50 대 50이에요.

그렇지 않다고 믿는 걸 도박사의 오류라고 해요. 뒷면이 나올 차례가 되었다고 생각하는 거예요. 맞는 말은, 미리 놓고 보면 앞면 다섯 번 연속은 드문 사건(3.125%)이라는 점이에요. 하지만 이미 일어난 뒤라면 그 다섯 번은 과거이고 다음 던지기에는 영향을 주지 않아요.

연속으로 몇 번 앞면: 1/2^n 법칙

던지기가 서로 독립이므로 확률은 곱해져요. 앞면이 n번 연속(또는 뒷면 n번, 미리 정한 어떤 특정 순서든) 나올 확률은 1/2을 n번 곱한 값, 즉 1/2^n이에요.

흔한 함정이 하나 있어요. 1/32은 처음 다섯 번이 모두 앞면일 확률이에요. 하지만 여러 번 던지다 보면 어딘가에서 같은 면이 다섯 번 이어지는 일은 흔해요. 100번 던질 때 어딘가에서 같은 면(앞면이든 뒷면이든)이 5번 이상 이어질 확률은 약 97%이고, 6번 이상 이어질 확률은 약 81%예요. 긴 시행에서 긴 연속이 나온다고 해서 동전에 조작이 있다는 신호는 아니에요.

주사위 하나와 6이 적어도 한 번 나올 확률

공정한 6면 주사위는 각 숫자가 나올 확률이 1/6, 약 16.7%예요. 여러 번 굴려서 6이 적어도 한 번 나올 확률을 구하려면 반대 경우를 계산하는 게 편해요. 모든 던지기에서 6이 한 번도 안 나올 확률은 (5/6)의 던진 횟수 제곱이므로 이를 1에서 빼면 돼요.

4번 굴리면 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1,296 = 0.5177, 약 51.8%예요. 즉 주사위를 네 번 굴리면 6이 나오지 않을 때보다 나올 확률이 조금 더 높아요.

6번을 굴려도 100%가 되지는 않는다는 점을 눈여겨보세요. 1/6의 기회 여섯 번을 합쳐도 확실함이 되지는 않아요. 새로 던질 때마다 6이 계속 안 나올 확률이 조금씩 줄어들 뿐이에요.

주사위 두 개: 합이 7인 경우가 가장 많은 이유

6면 주사위 두 개를 굴리면 똑같이 일어날 수 있는 조합이 6 × 6 = 36가지예요. 합은 만드는 방법의 수가 달라서 확률이 같지 않아요. 2는 1+1로만 나오지만, 7은 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1의 여섯 가지 방법으로 나와요.

같은 표에서 알 수 있는 다른 사실도 있어요. 6이 두 개 나올 확률은 1/36(약 2.8%), 같은 숫자 두 개(더블)가 나올 확률은 6/36 = 1/6, 주사위 두 개를 굴려 6이 적어도 하나 나올 확률은 11/36(약 30.6%)로 주사위 하나를 두 번 굴릴 때와 같아요. 12면 주사위 하나는 6면 주사위 두 개와 달라요. d12가 7을 낼 확률은 1/12(약 8.3%)이지만 2d6이 7을 낼 확률은 1/6이에요.

롤플레잉 주사위: d4, d6, d8, d10, d12, d20

「d」 뒤의 숫자는 면의 수예요. d20은 1부터 20까지 모든 숫자가 똑같은 확률, 즉 각각 5%로 나와요. 1부터 n까지인 n면 주사위의 평균은 (n + 1) / 2예요. d6은 3.5, d20은 10.5예요.

많은 롤플레잉 게임에는 유리함과 불리함 규칙이 있어요. d20을 두 개 굴려서 높은 쪽(유리함) 또는 낮은 쪽(불리함)을 골라요. 가능한 400가지 조합을 기준으로 계산하면 다음과 같아요.

유리함은 10점을 더해 주는 게 아니에요. 11 이상이 필요할 때는 50%에서 75%로, 20이 필요할 때는 5%에서 9.75%로 올라가요. 목표가 눈금의 가운데에 있을 때 효과가 가장 커요. 그리고 이 도구는 게임 규칙을 적용하지 않으니, 이렇게 하려면 d20을 두 번 굴린 다음 높은 쪽이나 낮은 쪽을 직접 고르세요.

동전 던지기, 주사위 굴리기, 랜덤 숫자 사용법

1. 「동전 던지기」에서 「동전 개수」를 고르고(최대 10개) 「동전 던지기」 버튼을 누르거나 스페이스바를 누르세요. 각 동전과 요약된 결과, 그 아래에 누적 횟수가 표시돼요. 「횟수 초기화」를 누르면 처음부터 다시 시작해요.
2. 「주사위 굴리기」에서 「주사위 개수」(1~10개)와 「면 수」(4, 6, 8, 10, 12, 20, 100)를 고르고 「굴리기」를 누르세요. 각 주사위와 합계, 그리고 「기록 지우기」로 비울 수 있는 굴린 기록이 보여요.
3. 「랜덤 숫자」에서는 「최솟값」, 「최댓값」(둘 다 포함), 「개수」를 정하세요. 겹치지 않게 하려면 「중복 없이」를 켜고 「생성」을 누르세요.
4. 이 글의 표를 확인하려면 동전 10개를 여러 번 던져 보세요. 가장 흔한 결과는 앞면 5개(던진 횟수의 24.6%)이고, 앞면 4~6개는 합쳐서 약 65.6%예요. 앞면이 0개 또는 10개 나오는 일은 약 512번에 한 번꼴이에요.

모든 계산은 서버로 아무것도 보내지 않고 기기에서 이뤄져요. 동전 누적 횟수와 주사위 기록은 페이지를 새로고침하면 사라져요.

공정하게 정하기

선택지가 둘이라면 동전 던지기가 가장 간단해요. 더 많다면 주사위나 랜덤 숫자를 쓰고 선택지마다 숫자를 하나씩 정해 주세요. 쓸 만한 요령이 하나 있어요. 선택지가 네 개라면 동전을 두 번 던지거나(앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤) d4를 쓰세요. 다섯 개 이상이면 정확한 범위의 랜덤 숫자가 더 나아요.

추첨은 모두가 볼 수 있어야 해요. 모두가 화면을 볼 수 있어야 하고, 던지기 전에 규칙(어느 면이 어느 선택지인지, 첫 번째 결과만 인정한다는 것 등)을 정해야 해요. 결과를 보고 마음을 바꾸면 공정함이 사라져요. 법적 효력이 있거나 공증이 필요한 추첨에는 온라인 도구로 충분하지 않아요.

브라우저에서 무작위란 무슨 뜻일까

컴퓨터는 아무것도 던지지 않아요. 난수 생성기를 써요. 주사위 굴리기와 랜덤 숫자는 이 사이트가 브라우저의 암호용 생성기를 써요. 결과를 예측할 수 없고 범위 안의 모든 숫자가 같은 확률로 나오도록 만든 생성기예요. 동전은 브라우저의 난수 생성기로 양쪽 면에 각각 50%를 줘요.

솔직하게 두 가지를 알려 드릴게요. 첫째, 동전 애니메이션은 시각 효과일 뿐이고 결과는 동전이 돌기 전에 이미 정해져요. 둘째, 던지는 횟수가 적으면 결과가 고르지 않게 보이는 게 정상이에요. 동전을 100번 던지면 앞면이 40~60개(약 96%의 경우)인 게 흔하고, 딱 50개가 되는 경우는 많지 않아요.

자주 묻는 질문