Testa o croce e dadi: come calcolare le probabilità

La moneta equa e gli eventi indipendenti

Una moneta equa ha una probabilità di 1/2 (50 %) di cadere su testa e 1/2 di cadere su croce. La cosa importante è che ogni lancio è indipendente: la moneta non ha memoria. Se sono uscite cinque teste di fila, il sesto lancio è comunque 50 e 50.

Credere il contrario si chiama errore del giocatore (o fallacia dei numeri ritardatari): pensare che «ormai deve uscire» croce. Quello che è vero è che cinque teste di fila, viste in anticipo, sono un evento poco probabile (3,125 %). Ma una volta successo, quei cinque lanci sono passato e non influenzano il prossimo.

Quante teste di fila: la regola 1/2^n

Poiché i lanci sono indipendenti, le probabilità si moltiplicano. Per n teste di fila (o n croci, o qualsiasi sequenza precisa che scegli in anticipo) la probabilità è 1/2 moltiplicato per sé stesso n volte, cioè 1/2^n.

Attenzione a una trappola frequente: 1/32 è la probabilità che i primi cinque lanci siano teste, ma se lanci molte volte, una serie di cinque uguali a un certo punto è normale. In 100 lanci, la probabilità che compaia da qualche parte una serie di almeno 5 dallo stesso lato (teste o croci) è intorno al 97 %, e di almeno 6 intorno all'81 %. Una serie lunga in una sequenza lunga non è un segno che la moneta sia truccata.

Un dado e la probabilità di ottenere almeno un 6

Un dado a sei facce equo dà ogni numero con probabilità 1/6, circa il 16,7 %. Per sapere la probabilità di ottenere almeno un 6 in più lanci, conviene calcolare il contrario: la probabilità di non ottenere nessun 6 in tutti i lanci, che è (5/6) elevato al numero di lanci, e sottrarla a 1.

Con 4 lanci: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1.296 = 0,5177, cioè circa il 51,8 %. In altre parole, lanciando un dado quattro volte è un po' più probabile ottenere un 6 che non ottenerlo.

Nota che con 6 lanci non arrivi al 100 %: sei possibilità da 1/6 non fanno una certezza. Ogni nuovo lancio riduce solo un po' la probabilità di restare senza 6.

Due dadi: perché il 7 è la somma più frequente

Con due dadi a sei facce ci sono 6 × 6 = 36 combinazioni ugualmente probabili. Le somme non sono ugualmente probabili perché alcune si possono formare in più modi. Il 2 esce solo con 1+1; il 7 esce con 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 e 6+1, sei modi diversi.

Altri dati che escono dalla stessa tabella: ottenere due sei è 1/36 (circa 2,8 %), ottenere due numeri uguali (un doppio) è 6/36 = 1/6, e ottenere almeno un 6 in un lancio di due dadi è 11/36 (circa 30,6 %), come lanciare un dado due volte. Lanciare un dado a 12 facce non è lo stesso che lanciarne due a 6: il d12 dà il 7 con 1/12 (circa 8,3 %), mentre 2d6 lo dà con 1/6.

Dadi da gioco di ruolo: d4, d6, d8, d10, d12 e d20

Il numero dopo la «d» è la quantità di facce: un d20 dà un numero da 1 a 20 con uguale probabilità, cioè il 5 % ciascuno. La media di un dado a n facce che va da 1 a n è (n + 1) / 2: 3,5 per un d6, 10,5 per un d20.

Molti giochi di ruolo usano la regola del vantaggio e dello svantaggio: lanci due d20 e tieni il maggiore (vantaggio) o il minore (svantaggio). I calcoli, su 400 combinazioni possibili, sono questi:

Il vantaggio non somma 10 punti: per ottenere 11 o più, passa dal 50 % al 75 %; per un 20, dal 5 % al 9,75 %. L'effetto è maggiore quando l'obiettivo sta a metà della scala. Inoltre, lo strumento non applica nessuna regola di gioco, quindi per farlo lancia due d20 e tieni tu il maggiore o il minore.

Come usare Testa o croce, Lancio dei dadi e Numero casuale

1. In «Testa o croce» scegli quante monete vuoi (fino a 10) e tocca «Lancia la moneta» o premi la barra spaziatrice. Viene mostrata ogni moneta, il risultato riassunto e, sotto, il conteggio cumulativo. Con «Azzera il conteggio» riparti da zero.
2. In «Lancio dei dadi» scegli la quantità (da 1 a 10) e le facce (4, 6, 8, 10, 12, 20 o 100), e tocca «Lancia». Vedi ogni dado, il totale e una cronologia dei lanci che puoi svuotare con «Cancella cronologia».
3. In «Numero casuale» definisci il minimo, il massimo (entrambi inclusi) e la quantità. Se vuoi che non si ripetano, attiva «Senza ripetere i numeri» e tocca «Genera».
4. Per verificare le tabelle di questa guida, lancia 10 monete molte volte: il risultato più comune è 5 teste (24,6 % dei lanci) e da 4 a 6 teste sommano circa il 65,6 %. Vedere 0 o 10 teste capita circa 1 volta su 512 lanci.

Tutto viene calcolato sul tuo dispositivo, senza inviare nulla a un server. Il conteggio della moneta e la cronologia dei dadi si perdono quando ricarichi la pagina.

Decidere qualcosa in modo equo

Per due opzioni, testa o croce è la cosa più semplice. Per più opzioni, usa un dado o un numero casuale assegnando un'opzione a ogni numero. Un trucco utile: se hai quattro opzioni, lancia una moneta due volte (TT, TC, CT, CC) o un d4. Se ne hai cinque o più, meglio un numero casuale con l'intervallo esatto.

Conviene che il sorteggio sia visibile: che tutti vedano lo schermo e che le regole si concordino prima di lanciare (quale lato corrisponde a quale opzione, e che vale il primo lancio). Cambiare idea dopo aver visto il risultato toglie ogni equità. Per sorteggi con conseguenze legali o davanti a un notaio non basta uno strumento online.

Che cosa significa casuale nel browser

Un computer non lancia niente: usa un generatore di numeri casuali. Nel caso di Lancio dei dadi e Numero casuale, il sito usa il generatore crittografico del browser, pensato perché i risultati non siano prevedibili e perché ogni numero dell'intervallo abbia la stessa probabilità. La moneta usa il generatore di numeri casuali del browser con il 50 % per ogni lato.

Due avvertenze oneste. Primo, nella moneta l'animazione è solo visiva: il risultato è deciso prima che giri. Secondo, con pochi lanci è normale che il risultato sembri irregolare: in 100 lanci di moneta, il normale è tra 40 e 60 teste (circa il 96 % delle volte) e non esattamente 50.

Domande frequenti