Orzeł czy reszka i kostki: jak obliczać prawdopodobieństwo

Uczciwa moneta i zdarzenia niezależne

Uczciwa moneta ma prawdopodobieństwo 1/2 (50 %) upadku orłem i 1/2 reszką. Najważniejsze, że każdy rzut jest niezależny: moneta nie ma pamięci. Jeśli wypadło pięć orłów z rzędu, szósty rzut nadal ma szanse 50 na 50.

Wiara w coś przeciwnego nazywa się błędem hazardzisty: myśleniem, że teraz «należy się» reszka. Prawdą jest natomiast, że pięć orłów z rzędu, rozpatrywane z góry, to zdarzenie mało prawdopodobne (3,125 %). Ale gdy już się zdarzyły, te pięć rzutów to przeszłość i nie wpływa na następny.

Ile orłów z rzędu: reguła 1/2^n

Ponieważ rzuty są niezależne, prawdopodobieństwa się mnoży. Dla n orłów z rzędu (albo n reszek, albo dowolnego konkretnego ciągu wybranego z góry) prawdopodobieństwo to 1/2 pomnożone przez siebie n razy, czyli 1/2^n.

Uwaga na częstą pułapkę: 1/32 to prawdopodobieństwo, że pierwsze pięć rzutów to orły, ale jeśli rzucasz wiele razy, seria pięciu takich samych wyników w którymś momencie jest czymś normalnym. W 100 rzutach prawdopodobieństwo, że gdzieś pojawi się seria co najmniej 5 po tej samej stronie (orły lub reszki), wynosi około 97 %, a co najmniej 6 około 81 %. Długa seria w długiej serii rzutów nie oznacza, że moneta jest fałszywa.

Jedna kostka i prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej szóstki

Uczciwa sześcienna kostka daje każdą liczbę z prawdopodobieństwem 1/6, czyli około 16,7 %. Aby poznać szansę na co najmniej jedną szóstkę w kilku rzutach, wygodnie obliczyć zdarzenie przeciwne: prawdopodobieństwo, że w żadnym rzucie nie wypadnie szóstka, czyli (5/6) do potęgi równej liczbie rzutów, i odjąć je od 1.

Dla 4 rzutów: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1296 = 0,5177, czyli około 51,8 %. Innymi słowy, rzucając kostką cztery razy, nieco bardziej prawdopodobne jest, że wypadnie szóstka, niż że nie wypadnie.

Zauważ, że przy 6 rzutach nie dochodzisz do 100 %: sześć szans po 1/6 nie daje pewności. Każdy kolejny rzut tylko trochę zmniejsza prawdopodobieństwo, że nadal nie ma szóstki.

Dwie kostki: dlaczego 7 to najczęstsza suma

Przy dwóch sześciennych kostkach jest 6 × 6 = 36 jednakowo prawdopodobnych kombinacji. Sumy nie są jednakowo prawdopodobne, bo niektóre można uzyskać na więcej sposobów. Dwójka wypada tylko jako 1+1; siódemka jako 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 i 6+1, czyli na sześć różnych sposobów.

Inne fakty wynikające z tej samej tabeli: wyrzucenie dwóch szóstek to 1/36 (ok. 2,8 %), wyrzucenie dwóch jednakowych liczb (dublet) to 6/36 = 1/6, a wyrzucenie co najmniej jednej szóstki w rzucie dwiema kostkami to 11/36 (ok. 30,6 %), tyle samo co przy dwukrotnym rzucie jedną kostką. Rzut kostką dwunastościenną to nie to samo co rzut dwiema sześciennymi: k12 daje 7 z prawdopodobieństwem 1/12 (ok. 8,3 %), a 2k6 z prawdopodobieństwem 1/6.

Kostki do gier fabularnych: k4, k6, k8, k10, k12 i k20

Liczba po literze «k» oznacza liczbę ścianek: k20 daje liczbę od 1 do 20 z jednakowym prawdopodobieństwem, czyli po 5 % na każdą. Średnia kostki o n ściankach, od 1 do n, to (n + 1) / 2: 3,5 dla k6 i 10,5 dla k20.

Wiele gier fabularnych stosuje zasadę przewagi i przeszkody: rzucasz dwiema k20 i zatrzymujesz większy wynik (przewaga) albo mniejszy (przeszkoda). Obliczenia, na podstawie 400 możliwych kombinacji, wyglądają tak:

Przewaga nie dodaje 10 punktów: żeby potrzebować 11 lub więcej, szansa rośnie z 50 % do 75 %; dla 20 z 5 % do 9,75 %. Efekt jest największy, gdy cel leży pośrodku skali. Narzędzie nie stosuje żadnych reguł gry, więc aby to zrobić, rzuć dwiema k20 i zatrzymaj sam większy albo mniejszy wynik.

Jak korzystać z narzędzi Rzut monetą, Kostka do gry i Liczba losowa

1. W narzędziu «Rzut monetą» wybierz, ile monet chcesz (do 10), i kliknij «Rzuć monetą» albo naciśnij spację. Zobaczysz każdą monetę, podsumowanie wyniku, a poniżej skumulowane zliczenie. Przyciskiem «Zeruj licznik» zaczynasz od zera.
2. W narzędziu «Kostka do gry» wybierz liczbę kostek (od 1 do 10) i ścianek (4, 6, 8, 10, 12, 20 lub 100), a potem kliknij «Rzuć». Zobaczysz każdą kostkę, sumę i historię rzutów, którą możesz opróżnić przyciskiem «Wyczyść historię».
3. W narzędziu «Liczba losowa» ustaw minimum, maksimum (oba włącznie) i ilość. Jeśli liczby mają się nie powtarzać, włącz «Bez powtórzeń» i kliknij «Losuj».
4. Aby sprawdzić tabele z tego poradnika, rzucaj wielokrotnie 10 monetami: najczęściej wypada 5 orłów (24,6 % rzutów), a od 4 do 6 orłów daje łącznie około 65,6 %. 0 lub 10 orłów zdarza się mniej więcej raz na 512 rzutów.

Wszystko jest liczone na Twoim urządzeniu, bez wysyłania czegokolwiek na serwer. Zliczenie monet i historia kostek znikają po odświeżeniu strony.

Jak podjąć decyzję uczciwie

Przy dwóch opcjach najprościej rzucić monetą. Przy większej liczbie użyj kostki albo liczby losowej, przypisując każdej opcji jedną liczbę. Przydatny trik: jeśli masz cztery opcje, rzuć monetą dwa razy (OO, OR, RO, RR) albo kostką k4. Jeśli masz pięć lub więcej, lepsza będzie liczba losowa z dokładnym zakresem.

Dobrze, żeby losowanie było jawne: niech wszyscy widzą ekran, a zasady niech będą ustalone przed rzutem (która strona oznacza którą opcję i że liczy się pierwszy rzut). Zmiana zdania po zobaczeniu wyniku odbiera całą uczciwość. Przy losowaniach o skutkach prawnych albo wymagających notariusza narzędzie online nie wystarczy.

Co oznacza losowość w przeglądarce

Komputer niczym nie rzuca: używa generatora liczb losowych. W przypadku narzędzi Kostka do gry i Liczba losowa serwis korzysta z kryptograficznego generatora przeglądarki, stworzonego tak, aby wyników nie dało się przewidzieć i aby każda liczba z zakresu miała takie samo prawdopodobieństwo. Moneta używa generatora liczb losowych przeglądarki z szansą 50 % na każdą stronę.

Dwa uczciwe zastrzeżenia. Po pierwsze, w przypadku monety animacja jest tylko wizualna: wynik jest ustalany, zanim zacznie się obracać. Po drugie, przy niewielu rzutach normalne jest, że wynik wygląda nierówno: w 100 rzutach monetą zwykle wypada od 40 do 60 orłów (w około 96 % przypadków), a nie dokładnie 50.

Najczęstsze pytania