公平的硬幣與獨立事件
一枚公平的硬幣，擲出正面的機率是 1/2（50 %），反面也是 1/2。重點在於每次投擲都是獨立的：硬幣沒有記憶。就算已經連續出現五次正面，第六次擲出的結果仍然是 50 對 50。
相信並非如此，就叫做賭徒謬誤：以為「這次該輪到反面了」。真正成立的是，事先來看，連續五次正面是個機率很低的事件（3.125 %）。但一旦它已經發生，那五次投擲就成了過去，不會影響下一次。
連續幾次正面：1/2^n 規則
因為每次投擲都是獨立的，機率要相乘。連續 n 次正面（或 n 次反面，或任何你事先指定的特定順序），機率是 1/2 自乘 n 次，也就是 1/2^n。
| 連續投擲 | 算式 | 機率 |
|---|---|---|
| 1 次正面 | 1/2 | 50 % |
| 2 次正面 | 1/4 | 25 % |
| 3 次正面 | 1/8 | 12.5 % |
| 4 次正面 | 1/16 | 6.25 % |
| 5 次正面 | 1/32 | 3.125 % |
| 6 次正面 | 1/64 | 1.5625 % |
| 8 次正面 | 1/256 | 約 0.39 % |
| 10 次正面 | 1/1,024 | 約 0.098 % |
要小心一個常見的陷阱：1/32 是前五次投擲都是正面的機率，但如果你擲很多次，在某個地方出現連續五次相同結果是很正常的。擲 100 次時，某處出現至少連續 5 次同一面（正面或反面）的機率約為 97 %，至少連續 6 次的機率約為 81 %。在很長的一串結果中出現很長的連續，並不代表硬幣被動過手腳。
一顆骰子：至少擲出一次 6 的機率
一顆公平的六面骰，每個數字出現的機率是 1/6，約 16.7 %。想知道多次投擲中至少擲出一次 6 的機率，最好先算相反的情況：所有投擲都沒有出現 6 的機率，也就是 (5/6) 的投擲次數次方，再用 1 減掉它。
擲 4 次：1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1,296 = 0.5177，也就是約 51.8 %。換句話說，一顆骰子擲四次，擲出 6 的機會比沒擲出 6 稍微高一點。
| 一顆骰子的投擲次數 | 至少擲出一次 6 的機率 |
|---|---|
| 1 | 約 16.7 % |
| 2 | 約 30.6 % |
| 3 | 約 42.1 % |
| 4 | 約 51.8 % |
| 6 | 約 66.5 % |
| 8 | 約 76.7 % |
請注意，擲 6 次並不會達到 100 %：六次 1/6 的機會加起來並不保證一定成功。每多擲一次，只是讓「一直沒出現 6」的機率稍微縮小一些。
兩顆骰子：為什麼 7 是最常出現的點數和
兩顆六面骰共有 6 × 6 = 36 種機率相同的組合。但點數和的機率並不相同，因為有些點數和可以用更多種方式組成。2 只能由 1+1 組成；7 則可以由 1+6、2+5、3+4、4+3、5+2 和 6+1 組成，共六種不同的方式。
| 點數和 | 組合數 | 機率 |
|---|---|---|
| 2 | 36 種中的 1 種 | 約 2.8 % |
| 3 | 36 種中的 2 種 | 約 5.6 % |
| 4 | 36 種中的 3 種 | 約 8.3 % |
| 5 | 36 種中的 4 種 | 約 11.1 % |
| 6 | 36 種中的 5 種 | 約 13.9 % |
| 7 | 36 種中的 6 種 | 約 16.7 % |
| 8 | 36 種中的 5 種 | 約 13.9 % |
| 9 | 36 種中的 4 種 | 約 11.1 % |
| 10 | 36 種中的 3 種 | 約 8.3 % |
| 11 | 36 種中的 2 種 | 約 5.6 % |
| 12 | 36 種中的 1 種 | 約 2.8 % |
同一張表還能得出其他資料：擲出兩個 6 的機率是 1/36（約 2.8 %），擲出兩個相同的數字（一對）是 6/36 = 1/6，而擲兩顆骰子至少出現一個 6 的機率是 11/36（約 30.6 %），和一顆骰子擲兩次的結果相同。擲一顆 12 面骰和擲兩顆 6 面骰並不一樣：d12 擲出 7 的機率是 1/12（約 8.3 %），而 2d6 擲出 7 的機率是 1/6。
角色扮演遊戲的骰子：d4、d6、d8、d10、d12 和 d20
「d」後面的數字是面數：d20 以相同的機率擲出 1 到 20 的數字，也就是每個 5 %。一顆從 1 到 n 的 n 面骰，平均值是 (n + 1) / 2：d6 是 3.5，d20 是 10.5。
許多角色扮演遊戲使用優勢與劣勢規則：擲兩顆 d20，取較大的（優勢）或較小的（劣勢）。以下是 400 種可能組合所算出的結果：
| 目標 | 一顆 d20 | 優勢 | 劣勢 |
|---|---|---|---|
| 擲出 11 或更高 | 50 % | 75 % | 25 % |
| 擲出 15 或更高 | 30 % | 51 % | 9 % |
| 擲出 20 | 5 % | 9.75 % | 0.25 % |
| 結果的平均值 | 10.5 | 13.825 | 7.175 |
優勢並不會直接加 10 點：要擲到 11 或更高，機率從 50 % 變成 75 %；要擲到 20，從 5 % 變成 9.75 %。當目標落在刻度中間時，效果最大。另外，這個工具並不套用任何遊戲規則，所以要這樣做的話，請擲兩顆 d20，自己取較大或較小的那顆。
如何使用擲硬幣、擲骰子與隨機數字
- 在「擲硬幣」中，選擇想用幾枚硬幣（最多 10 枚），再點「擲硬幣」或按空白鍵。畫面會顯示每枚硬幣、簡要的結果，下方還有累積的計數。點「重設計數」就能從零開始。
- 在「擲骰子」中，選擇數量（1 到 10 顆）與面數（4、6、8、10、12、20 或 100），再點「擲骰」。你會看到每一顆骰子、總和，以及可以用「清除紀錄」清空的擲骰紀錄。
- 在「隨機數字」中，設定最小值、最大值（都包含在內）與數量。如果不想讓數字重複，請勾選「不重複數字」再點「產生」。
- 若要驗證這篇文章中的表格，請把 10 枚硬幣擲很多次：最常見的結果是 5 次正面（佔投擲次數的 24.6 %），而 4 到 6 次正面合計約佔 65.6 %。出現 0 次或 10 次正面的情況，大約每 512 次投擲才會發生 1 次。
一切都在你的裝置上計算，不會傳送到伺服器。硬幣的計數和骰子的紀錄，會在重新載入頁面時消失。
公平地做決定
如果只有兩個選項，擲硬幣最簡單。選項更多時，請使用骰子或隨機數字，把每個數字分配給一個選項。有個實用的小技巧：如果有四個選項，可以擲兩次硬幣（正正、正反、反正、反反），或擲一顆 d4。如果有五個或更多選項，最好直接用範圍剛好吻合的隨機數字。
抽籤最好要公開：讓所有人都看得到畫面，並在擲之前說好規則（每一面代表哪個選項，以及以第一次擲出的結果為準）。看到結果之後才改變心意，就完全沒有公平可言。至於具有法律效力或需要公證的抽籤，線上工具是不夠的。
瀏覽器中的「隨機」是什麼意思
電腦並不會真的擲什麼東西：它使用的是亂數產生器。在擲骰子和隨機數字中，本站使用瀏覽器的密碼學亂數產生器，目的是讓結果無法被預測，並讓範圍內每個數字的機率都相同。硬幣則使用瀏覽器的亂數產生器，每一面各 50 %。
還有兩個誠實的提醒。第一，硬幣的動畫只是視覺效果：結果在硬幣開始轉動之前就已經決定了。第二，投擲次數很少時，結果看起來不平均是正常的：擲 100 次硬幣，通常會出現 40 到 60 次正面（大約 96 % 的情況），而不是剛好 50 次。
常見問題
如果已經連續出現五次正面，這次擲出反面的機率會比較高嗎？
不會。每次投擲都是獨立的，所以第六次仍然是正面 50 %、反面 50 %。認為相反的想法，就是賭徒謬誤。
連續擲出 3 次正面的機率是多少？
是 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8，也就是 12.5 %。連續 5 次正面則是 1/32，3.125 %。
為什麼兩顆骰子的點數和，7 比 12 更常出現？
因為 7 可以用六種方式組成（1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1），在 36 種組合中佔 16.7 %；而 12 只有 6+6 一種，也就是 2.8 %。
一顆骰子擲 4 次，至少擲出一次 6 的機率是多少？
1 − (5/6)^4，約為 51.8 %。算法是用 1 減去四次投擲都沒有出現 6 的機率。
硬幣和骰子的結果真的是隨機的嗎？
它們是用瀏覽器的亂數產生器產生的，不偏向任何一面。可以用來做決定和玩遊戲，但不能當作正式抽籤的憑證。