Den retfærdige mønt og uafhængige hændelser
En retfærdig mønt har sandsynligheden 1/2 (50 %) for at lande på krone og 1/2 for at lande på plat. Det vigtige er, at hvert kast er uafhængigt: mønten har ingen hukommelse. Hvis der kom fem kroner i træk, er det sjette kast stadig 50 og 50.
At tro det modsatte kaldes spillerens fejlslutning: at tro, at det nu er plats tur. Det, der er sandt, er, at fem kroner i træk, set på forhånd, er en usandsynlig hændelse (3,125 %). Men når de først er sket, er de fem kast fortid og påvirker ikke det næste.
Hvor mange kroner i træk: reglen 1/2^n
Da kastene er uafhængige, ganges sandsynlighederne. For n kroner i træk (eller n plat, eller en hvilken som helst bestemt rækkefølge, du vælger på forhånd) er sandsynligheden 1/2 ganget med sig selv n gange, altså 1/2^n.
| Kast i træk | Udregning | Sandsynlighed |
|---|---|---|
| 1 krone | 1/2 | 50 % |
| 2 kroner | 1/4 | 25 % |
| 3 kroner | 1/8 | 12,5 % |
| 4 kroner | 1/16 | 6,25 % |
| 5 kroner | 1/32 | 3,125 % |
| 6 kroner | 1/64 | 1,5625 % |
| 8 kroner | 1/256 | ca. 0,39 % |
| 10 kroner | 1/1.024 | ca. 0,098 % |
Pas på en almindelig fælde: 1/32 er sandsynligheden for, at de første fem kast er kroner, men hvis du kaster mange gange, er en stribe på fem ens på et tidspunkt helt normal. I 100 kast ligger sandsynligheden for, at der et sted dukker en stribe på mindst 5 af samme side op (krone eller plat), på ca. 97 %, og for mindst 6 på ca. 81 %. En lang stribe i en lang serie er ikke et tegn på, at mønten er snydt.
En terning og sandsynligheden for at slå mindst én 6'er
En retfærdig sekssidet terning giver hvert tal med sandsynligheden 1/6, cirka 16,7 %. For at finde chancen for at slå mindst én 6'er i flere kast er det bedst at regne på det modsatte: sandsynligheden for ikke at slå nogen 6'er i alle kastene, som er (5/6) opløftet i antallet af kast, og trække den fra 1.
Med 4 kast: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1.296 = 0,5177, altså cirka 51,8 %. Det vil sige, at når du slår en terning fire gange, er det lidt mere sandsynligt at slå en 6'er end ikke at gøre det.
| Kast med en terning | Sandsynlighed for mindst én 6'er |
|---|---|
| 1 | ca. 16,7 % |
| 2 | ca. 30,6 % |
| 3 | ca. 42,1 % |
| 4 | ca. 51,8 % |
| 6 | ca. 66,5 % |
| 8 | ca. 76,7 % |
Bemærk, at du ikke når 100 % med 6 kast: seks chancer på 1/6 giver ikke vished. Hvert nyt kast mindsker kun lidt sandsynligheden for stadig at være uden 6'er.
To terninger: hvorfor 7 er den hyppigste sum
Med to sekssidede terninger er der 6 × 6 = 36 lige sandsynlige kombinationer. Summerne er ikke lige sandsynlige, fordi nogle kan dannes på flere måder. 2 kommer kun med 1+1; 7 kommer med 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 og 6+1, seks forskellige måder.
| Sum | Kombinationer | Sandsynlighed |
|---|---|---|
| 2 | 1 af 36 | ca. 2,8 % |
| 3 | 2 af 36 | ca. 5,6 % |
| 4 | 3 af 36 | ca. 8,3 % |
| 5 | 4 af 36 | ca. 11,1 % |
| 6 | 5 af 36 | ca. 13,9 % |
| 7 | 6 af 36 | ca. 16,7 % |
| 8 | 5 af 36 | ca. 13,9 % |
| 9 | 4 af 36 | ca. 11,1 % |
| 10 | 3 af 36 | ca. 8,3 % |
| 11 | 2 af 36 | ca. 5,6 % |
| 12 | 1 af 36 | ca. 2,8 % |
Andre oplysninger, der følger af samme tabel: at slå to 6'ere er 1/36 (ca. 2,8 %), at slå to ens tal (et par) er 6/36 = 1/6, og at slå mindst én 6'er i et kast med to terninger er 11/36 (ca. 30,6 %), ligesom ved at slå en terning to gange. At slå med en tolvsidet terning er ikke det samme som at slå med to sekssidede: d12 giver 7 med 1/12 (ca. 8,3 %), mens 2d6 giver det med 1/6.
Rollespilsterninger: d4, d6, d8, d10, d12 og d20
Tallet efter «d» er antallet af sider: en d20 giver et tal fra 1 til 20 med samme sandsynlighed, altså 5 % hver. Gennemsnittet for en terning med n sider, der går fra 1 til n, er (n + 1) / 2: 3,5 for en d6, 10,5 for en d20.
Mange rollespil bruger reglen om fordel og ulempe: du slår to d20 og beholder den højeste (fordel) eller den laveste (ulempe). Udregningerne, ud af 400 mulige kombinationer, er disse:
| Mål | En d20 | Med fordel | Med ulempe |
|---|---|---|---|
| Slå 11 eller mere | 50 % | 75 % | 25 % |
| Slå 15 eller mere | 30 % | 51 % | 9 % |
| Slå en 20'er | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Gennemsnit af resultatet | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
Fordelen giver ikke 10 point: hvis du skal slå 11 eller mere, går det fra 50 % til 75 %; for en 20'er fra 5 % til 9,75 %. Effekten er størst, når målet ligger midt på skalaen. Desuden bruger værktøjet ingen spilregel, så for at gøre dette skal du slå to d20 og selv beholde den højeste eller den laveste.
Sådan bruger du Plat eller krone, Terninger og Tilfældigt tal
- I «Plat eller krone» vælger du, hvor mange mønter du vil have (op til 10), og trykker på «Kast mønten» eller på mellemrumstasten. Hver mønt vises sammen med det samlede resultat, og nedenfor er den samlede tælling. Med «Nulstil tælling» starter du forfra.
- I «Terninger» vælger du antallet (fra 1 til 10) og siderne (4, 6, 8, 10, 12, 20 eller 100) og trykker på «Slå». Du ser hver terning, totalen og en historik over slag, som du kan tømme med «Ryd historik».
- I «Tilfældigt tal» fastlægger du mindste tal, største tal (begge medregnet) og antallet. Hvis tallene ikke må gentages, slår du «Ingen gentagne tal» til og trykker på «Generér».
- For at kontrollere tabellerne i denne guide kan du kaste 10 mønter mange gange: det mest almindelige er 5 kroner (24,6 % af kastene), og fra 4 til 6 kroner udgør ca. 65,6 %. At se 0 eller 10 kroner sker cirka 1 gang ud af 512 kast.
Alt beregnes på din enhed uden at sende noget til en server. Tællingen for mønten og historikken for terningerne forsvinder, når du genindlæser siden.
At bestemme noget retfærdigt
Ved to valgmuligheder er plat eller krone det enkleste. Ved flere bruger du en terning eller et tilfældigt tal og giver hver mulighed et tal. Et nyttigt trick: har du fire muligheder, kan du kaste en mønt to gange (KK, KP, PK, PP) eller bruge en d4. Har du fem eller flere, er det bedre med et tilfældigt tal i det præcise interval.
Det er godt, at lodtrækningen er synlig: at alle kan se skærmen, og at reglerne aftales, før du slår (hvilken side der er hvilken mulighed, og at det første kast gælder). At ombestemme sig efter at have set resultatet fjerner al retfærdighed. Til lodtrækninger med juridiske konsekvenser eller notar er et onlineværktøj ikke nok.
Hvad tilfældigt betyder i browseren
En computer kaster ikke noget: den bruger en generator af tilfældige tal. I Terninger og Tilfældigt tal bruger siden browserens kryptografiske generator, der er lavet til, at resultaterne ikke kan forudsiges, og til at hvert tal i intervallet har samme sandsynlighed. Mønten bruger browserens generator af tilfældige tal med 50 % til hver side.
To ærlige advarsler. For det første er animationen på mønten kun visuel: resultatet er afgjort, før den drejer. For det andet er det normalt, at resultatet ser ujævnt ud ved få kast: i 100 møntkast er det almindelige mellem 40 og 60 kroner (omkring 96 % af gangene) og ikke præcis 50.
Ofte stillede spørgsmål
Hvis der kom fem kroner i træk, er det så mere sandsynligt, at der nu kommer plat?
Nej. Hvert kast er uafhængigt, så det sjette har igen 50 % for krone og 50 % for plat. At tro det modsatte er spillerens fejlslutning.
Hvad er sandsynligheden for at slå 3 kroner i træk?
Den er 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, altså 12,5 %. For 5 kroner i træk er den 1/32, 3,125 %.
Hvorfor kommer 7 oftere end 12 med to terninger?
Fordi 7 dannes på seks måder (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) ud af 36 kombinationer, 16,7 %, og 12 kun med 6+6, altså 2,8 %.
Hvor stor er sandsynligheden for at slå mindst én 6'er i 4 kast med en terning?
1 − (5/6)^4, som er cirka 51,8 %. Den regnes ud ved at trække sandsynligheden for ikke at slå nogen 6'er i de fire kast fra 1.
Er resultaterne fra mønten og terningerne virkelig tilfældige?
De genereres med browserens generator af tilfældige tal, uden skævhed mod nogen side. De egner sig til at beslutte og til at lege, men ikke som dokumentation for en officiel lodtrækning.