सिक्का उछालना और पासे: प्रायिकता कैसे निकालें

निष्पक्ष सिक्का और स्वतंत्र घटनाएँ

एक निष्पक्ष सिक्के के चित गिरने की प्रायिकता 1/2 (50 %) और पट गिरने की 1/2 होती है। ज़रूरी बात यह है कि हर उछाल स्वतंत्र है: सिक्के को कुछ याद नहीं रहता। अगर लगातार पाँच चित आ चुके हैं, तो छठी बार भी 50 और 50 ही है।

इसके उलट सोचना जुआरी की भ्रांति कहलाता है: यह मान लेना कि अब पट की «बारी» है। हाँ, पहले से देखें तो लगातार पाँच चित एक कम संभव घटना है (3.125 %)। लेकिन एक बार हो जाने के बाद वे पाँच उछाल बीत चुके हैं और अगले पर असर नहीं डालते।

लगातार कितने चित: 1/2^n का नियम

क्योंकि उछाल स्वतंत्र हैं, प्रायिकताएँ गुणा होती हैं। लगातार n चित (या n पट, या पहले से चुना कोई भी क्रम) की प्रायिकता 1/2 को खुद से n बार गुणा करने पर मिलती है, यानी 1/2^n।

एक आम चूक से सावधान रहें: 1/32 पहले पाँच उछालों के सारे चित होने की प्रायिकता है, लेकिन अगर आप बहुत बार उछालते हैं, तो कभी न कभी पाँच एक जैसे आ जाना सामान्य है। 100 उछालों में कहीं न कहीं एक ही तरफ़ (चित या पट) की कम से कम 5 की लड़ी आने की प्रायिकता लगभग 97 % और कम से कम 6 की लगभग 81 % होती है। लंबी श्रृंखला में लंबी लड़ी का मतलब यह नहीं कि सिक्का गड़बड़ है।

एक पासा और कम से कम एक 6 आने की प्रायिकता

छह पहलू वाला निष्पक्ष पासा हर संख्या 1/6 प्रायिकता से देता है, यानी लगभग 16.7 %। कई बार फेंकने में कम से कम एक 6 आने का मौका जानने के लिए उल्टा निकालना आसान है: सारी बार में एक भी 6 न आने की प्रायिकता, जो (5/6) की फेंकों की संख्या के बराबर घात है, और उसे 1 में से घटाना।

4 बार फेंकने पर: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1,296 = 0.5177, यानी लगभग 51.8 %। मतलब एक पासे को चार बार फेंकने पर 6 आना, न आने से थोड़ा ज़्यादा संभव है।

ध्यान दें कि 6 फेंकों में भी आप 100 % तक नहीं पहुँचते: 1/6 के छह मौके मिलकर पक्का भरोसा नहीं बनाते। हर नई फेंक सिर्फ़ थोड़ा-सा घटाती है कि अब भी 6 न आए।

दो पासे: 7 सबसे ज़्यादा बार आने वाला योग क्यों है

छह पहलू वाले दो पासों के साथ 6 × 6 = 36 बराबर संभावना वाले संयोजन होते हैं। योग बराबर संभावना वाले नहीं होते क्योंकि कुछ योग ज़्यादा तरीकों से बन सकते हैं। 2 सिर्फ़ 1+1 से आता है; 7 आता है 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 और 6+1 से, यानी छह अलग तरीकों से।

इसी तालिका से और बातें निकलती हैं: दो छक्के आना 1/36 (लगभग 2.8 %) है, दो एक जैसी संख्याएँ (डबल) आना 6/36 = 1/6 है, और दो पासों की एक फेंक में कम से कम एक 6 आना 11/36 (लगभग 30.6 %) है, जो एक पासे को दो बार फेंकने जैसा ही है। 12 पहलू वाला पासा फेंकना दो 6 वाले फेंकने जैसा नहीं है: d12 में 7 की प्रायिकता 1/12 (लगभग 8.3 %) है, जबकि 2d6 में 1/6।

रोल-प्ले वाले पासे: d4, d6, d8, d10, d12 और d20

«d» के बाद की संख्या पहलुओं की गिनती है: d20 1 से 20 तक की संख्या बराबर प्रायिकता से देता है, यानी हर एक 5 %। 1 से n तक जाने वाले n पहलू के पासे का औसत (n + 1) / 2 होता है: d6 के लिए 3.5, d20 के लिए 10.5।

कई रोल-प्लेइंग खेल एडवांटेज और डिसएडवांटेज का नियम इस्तेमाल करते हैं: आप दो d20 फेंकते हैं और बड़ा (एडवांटेज) या छोटा (डिसएडवांटेज) रख लेते हैं। 400 संभव संयोजनों पर हिसाब ये हैं:

एडवांटेज 10 अंक नहीं जोड़ता: 11 या ज़्यादा चाहिए हो तो यह 50 % से 75 % हो जाता है; 20 के लिए 5 % से 9.75 %। असर तब ज़्यादा होता है जब लक्ष्य पैमाने के बीच में हो। साथ ही, टूल खेल का कोई नियम लागू नहीं करता, इसलिए यह करने के लिए दो d20 फेंकें और बड़ा या छोटा आप खुद चुनें।

चित या पट, डाइस रोलर और रैंडम नंबर कैसे इस्तेमाल करें

1. «चित या पट» में चुनें कि कितने सिक्के चाहिए (10 तक) और «सिक्का उछालें» दबाएँ या स्पेस बार दबाएँ। हर सिक्का, नतीजे का सारांश और नीचे अब तक की गिनती दिखती है। «गिनती रीसेट करें» से आप शून्य से शुरू करते हैं।
2. «डाइस रोलर» में पासों की संख्या (1 से 10) और पहलू (4, 6, 8, 10, 12, 20 या 100) चुनें, और «फेंकें» दबाएँ। आपको हर पासा, कुल योग और फेंकों का इतिहास दिखता है, जिसे «इतिहास मिटाएँ» से खाली किया जा सकता है।
3. «रैंडम नंबर» में न्यूनतम, अधिकतम (दोनों शामिल) और संख्या तय करें। अगर संख्याएँ दोहराना नहीं चाहते, तो «संख्याएँ न दोहराएँ» चालू करें और «बनाएँ» दबाएँ।
4. इस गाइड की तालिकाएँ जाँचने के लिए 10 सिक्के कई बार उछालें: सबसे आम नतीजा 5 चित है (24.6 % उछालों में) और 4 से 6 चित मिलाकर लगभग 65.6 %। 0 या 10 चित आना लगभग 512 उछालों में एक बार होता है।

सब कुछ आपके डिवाइस पर ही निकाला जाता है, कुछ भी सर्वर को नहीं जाता। सिक्के की गिनती और पासों का इतिहास पेज रीलोड करने पर मिट जाते हैं।

कुछ निष्पक्ष तरीके से तय करना

दो विकल्पों के लिए चित या पट सबसे सरल है। ज़्यादा के लिए पासा या रैंडम नंबर इस्तेमाल करें और हर संख्या को एक विकल्प दे दें। एक काम की तरकीब: चार विकल्प हों तो सिक्का दो बार उछालें (चित-चित, चित-पट, पट-चित, पट-पट) या एक d4 लें। पाँच या ज़्यादा हों तो सटीक रेंज के साथ रैंडम नंबर बेहतर है।

बेहतर है कि फ़ैसला सबके सामने हो: सब स्क्रीन देखें और नियम फेंकने से पहले तय हों (कौन-सा पहलू कौन-सा विकल्प है, और पहली फेंक ही मान्य है)। नतीजा देखकर मन बदल लेना सारी निष्पक्षता खत्म कर देता है। कानूनी नतीजों वाले या नोटरी के सामने होने वाले ड्रॉ के लिए ऑनलाइन टूल काफ़ी नहीं है।

ब्राउज़र में «रैंडम» का मतलब क्या है

कंप्यूटर कुछ नहीं फेंकता: वह एक रैंडम संख्या जनरेटर इस्तेमाल करता है। डाइस रोलर और रैंडम नंबर में साइट ब्राउज़र का क्रिप्टोग्राफ़िक जनरेटर इस्तेमाल करती है, जो इसलिए बना है कि नतीजों का अनुमान न लग सके और रेंज की हर संख्या की प्रायिकता बराबर हो। सिक्के में ब्राउज़र का रैंडम संख्या जनरेटर इस्तेमाल होता है, हर तरफ़ के लिए 50 % के साथ।

दो ईमानदार चेतावनियाँ। पहली, सिक्के में एनिमेशन सिर्फ़ दिखाने के लिए है: नतीजा घूमने से पहले ही तय हो जाता है। दूसरी, कम उछालों के साथ नतीजा असमान दिखना सामान्य है: सिक्के की 100 उछालों में आम तौर पर 40 से 60 चित आते हैं (लगभग 96 % बार), ठीक 50 नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल