公平なコインと独立した試行
公平なコインは、表が出る確率が1/2(50%)、裏が出る確率も1/2です。大切なのは、1回ごとの試行が独立していることです。コインに記憶はありません。表が5回続いても、6回目はやはり50対50です。
反対に考えてしまうのが「ギャンブラーの誤謬」で、「そろそろ裏の番だ」と思い込むことです。たしかに、事前に見れば表が5回連続は起こりにくい出来事(3.125%)です。しかし、すでに起きた5回は過去のことで、次の結果には影響しません。
表が何回続くか:1/2^nの法則
試行は独立なので、確率はかけ算になります。n回連続で表(または裏、あるいは事前に決めた特定の並び)が出る確率は、1/2をn回かけたもの、つまり1/2^nです。
| 連続回数 | 計算 | 確率 |
|---|---|---|
| 表1回 | 1/2 | 50% |
| 表2回 | 1/4 | 25% |
| 表3回 | 1/8 | 12.5% |
| 表4回 | 1/16 | 6.25% |
| 表5回 | 1/32 | 3.125% |
| 表6回 | 1/64 | 1.5625% |
| 表8回 | 1/256 | 約0.39% |
| 表10回 | 1/1,024 | 約0.098% |
よくある落とし穴があります。1/32は最初の5回が表になる確率ですが、何度も投げれば、どこかで同じ面が5回続くことは普通に起こります。100回投げたとき、どこかで同じ面(表か裏)が5回以上続く確率は約97%、6回以上続く確率は約81%です。長い試行の中の長い連続は、コインに細工がある証拠ではありません。
サイコロ1個で6が1回以上出る確率
公平な6面のサイコロは、どの目も1/6、約16.7%の確率で出ます。何回か振って6が少なくとも1回出る確率を知るには、逆を計算するのが便利です。全部の回で6が出ない確率は(5/6)の回数乗なので、それを1から引きます。
4回振る場合:1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1,296 = 0.5177、つまり約51.8%です。サイコロを4回振ると、6が出るほうが、出ないより少し起こりやすいということです。
| サイコロを振る回数 | 6が1回以上出る確率 |
|---|---|
| 1 | 約16.7% |
| 2 | 約30.6% |
| 3 | 約42.1% |
| 4 | 約51.8% |
| 6 | 約66.5% |
| 8 | 約76.7% |
6回振っても100%にはなりません。1/6のチャンスが6回あっても、確実にはならないのです。新しく振るたびに、6が出ない確率が少しずつ下がるだけです。
2つのサイコロ:7が最も出やすい理由
6面のサイコロ2個には、6 × 6 = 36通りの同じ確率の組み合わせがあります。合計は同じ確率ではありません。作り方の数が合計によって違うからです。2は1+1の1通りだけですが、7は1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1の6通りで作れます。
| 合計 | 組み合わせ | 確率 |
|---|---|---|
| 2 | 36通り中1通り | 約2.8% |
| 3 | 36通り中2通り | 約5.6% |
| 4 | 36通り中3通り | 約8.3% |
| 5 | 36通り中4通り | 約11.1% |
| 6 | 36通り中5通り | 約13.9% |
| 7 | 36通り中6通り | 約16.7% |
| 8 | 36通り中5通り | 約13.9% |
| 9 | 36通り中4通り | 約11.1% |
| 10 | 36通り中3通り | 約8.3% |
| 11 | 36通り中2通り | 約5.6% |
| 12 | 36通り中1通り | 約2.8% |
同じ表からわかることは、ほかにもあります。6が2つ出る確率は1/36(約2.8%)、同じ目が2つそろう(ゾロ目)確率は6/36 = 1/6、サイコロ2個で少なくとも1つ6が出る確率は11/36(約30.6%)で、サイコロを2回振る場合と同じです。12面のサイコロ1個と6面2個は違います。d12で7が出る確率は1/12(約8.3%)ですが、2d6では1/6です。
TRPG用のサイコロ:d4、d6、d8、d10、d12、d20
「d」のあとの数字は面の数です。d20は1〜20の数を等しい確率、つまりそれぞれ5%で出します。1からnまでの目があるn面サイコロの平均は(n + 1) / 2で、d6なら3.5、d20なら10.5です。
多くのTRPGでは、有利と不利のルールを使います。d20を2つ振って、高いほう(有利)か低いほう(不利)を採用します。400通りの組み合わせでの計算は次のとおりです。
| 目標 | d20 1個 | 有利 | 不利 |
|---|---|---|---|
| 11以上を出す | 50% | 75% | 25% |
| 15以上を出す | 30% | 51% | 9% |
| 20を出す | 5% | 9.75% | 0.25% |
| 結果の平均 | 10.5 | 13.825 | 7.175 |
有利は10ポイントを足すものではありません。11以上が必要なら50%が75%に、20が必要なら5%が9.75%になります。目標が目盛りの真ん中にあるほど効果が大きくなります。なお、ツールはゲームのルールを適用しないので、これを試すにはd20を2つ振って、自分で高いほうか低いほうを選んでください。
「コイントス」「サイコロ」「乱数生成」の使い方
- 「コイントス」では、コインの数(最大10枚)を選び、「コインを投げる」をタップするか、スペースキーを押します。各コインと、まとめた結果、その下に累計の回数が表示されます。「カウントをリセット」で最初からやり直せます。
- 「サイコロ」では、ダイスの数(1〜10個)と面の数(4、6、8、10、12、20、100)を選び、「振る」をタップします。各サイコロ、合計、振った履歴が表示され、「履歴を消去」で空にできます。
- 「乱数生成」では、最小値と最大値(どちらも含む)と個数を決めます。重複させたくないときは、「重複しない」をオンにして「生成」をタップします。
- この記事の表を確かめるには、コイン10枚を何度も投げてみてください。いちばん多いのは表5枚(投げた回数の24.6%)で、表が4〜6枚になるのは合わせて約65.6%です。表が0枚か10枚になるのは、約512回に1回です。
すべてお使いの端末で計算し、サーバーには何も送りません。コインの回数とサイコロの履歴は、ページを再読み込みすると消えます。
公平に決める方法
選択肢が2つなら、コイントスがいちばん簡単です。もっと多いときは、サイコロや乱数を使って、各選択肢に数を割り当てます。便利なコツ:選択肢が4つなら、コインを2回投げる(表表、表裏、裏表、裏裏)か、d4を使います。5つ以上なら、範囲をちょうど合わせた乱数のほうが良いでしょう。
くじは誰からも見えるようにして、投げる前にルール(どちらの面がどの選択肢か、最初の1回が有効であること)を決めておくのがよいでしょう。結果を見てから気が変わるのでは、公平さがなくなります。法的な効力が必要な抽選や公証が必要な抽選には、オンラインのツールでは足りません。
ブラウザでの「ランダム」とは
コンピューターは何も投げません。乱数生成器を使います。「サイコロ」と「乱数生成」では、サイトはブラウザの暗号用の乱数生成器を使います。結果が予測できず、範囲内のどの数も同じ確率で出るように作られたものです。コインは、ブラウザの乱数生成器で、それぞれの面が50%になるようにしています。
正直な注意が2つあります。1つ目に、コインのアニメーションは見た目だけで、結果は回転する前に決まっています。2つ目に、回数が少ないと結果が偏って見えるのは普通です。コインを100回投げたとき、表が40〜60回になる(約96%の確率)ことが多く、ちょうど50回になるとは限りません。
よくある質問
表が5回続いたら、次は裏が出やすくなりますか?
いいえ。1回ごとの試行は独立なので、6回目もまた表50%、裏50%です。反対に考えるのが、ギャンブラーの誤謬です。
表が3回続く確率は?
1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8、つまり12.5%です。表が5回続く確率は1/32、3.125%です。
2つのサイコロで、なぜ7が12より出やすいのですか?
7は36通り中6通り(1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1)、16.7%で作れるのに対し、12は6+6の1通りだけ、つまり2.8%だからです。
サイコロを4回振って、6が1回以上出る確率は?
1 − (5/6)^4、つまり約51.8%です。4回とも6が出ない確率を1から引いて計算します。
コインやサイコロの結果は本当にランダムですか?
ブラウザの乱数生成器で作られ、どの面にも偏りはありません。決めごとやゲームには使えますが、公式な抽選の証明にはなりません。