A moeda justa e os eventos independentes
Uma moeda justa tem probabilidade de 1/2 (50 %) de dar cara e 1/2 de dar coroa. O importante é que cada lançamento é independente: a moeda não tem memória. Se saíram cinco caras seguidas, o sexto lançamento continua sendo 50 e 50.
Acreditar no contrário se chama falácia do apostador: pensar que “agora é a vez” da coroa. O que é verdade é que cinco caras seguidas, vistas de antemão, são um evento pouco provável (3,125 %). Mas depois que já aconteceram, esses cinco lançamentos são passado e não influenciam o próximo.
Quantas caras seguidas: a regra 1/2^n
Como os lançamentos são independentes, as probabilidades se multiplicam. Para n caras seguidas (ou n coroas, ou qualquer sequência concreta que você escolha de antemão), a probabilidade é 1/2 multiplicado por si mesmo n vezes, ou seja, 1/2^n.
| Lançamentos seguidos | Conta | Probabilidade |
|---|---|---|
| 1 cara | 1/2 | 50 % |
| 2 caras | 1/4 | 25 % |
| 3 caras | 1/8 | 12,5 % |
| 4 caras | 1/16 | 6,25 % |
| 5 caras | 1/32 | 3,125 % |
| 6 caras | 1/64 | 1,5625 % |
| 8 caras | 1/256 | aprox. 0,39 % |
| 10 caras | 1/1.024 | aprox. 0,098 % |
Cuidado com uma armadilha frequente: 1/32 é a probabilidade de os cinco primeiros lançamentos serem caras, mas se você joga muitas vezes, uma sequência de cinco iguais em algum momento é normal. Em 100 lançamentos, a probabilidade de aparecer em algum lugar uma sequência de pelo menos 5 do mesmo lado (caras ou coroas) fica em torno de 97 %, e de pelo menos 6 em torno de 81 %. Uma sequência longa em uma série longa não é sinal de que a moeda esteja viciada.
Um dado e a probabilidade de tirar pelo menos um 6
Um dado justo de seis faces dá cada número com probabilidade 1/6, cerca de 16,7 %. Para saber a chance de tirar pelo menos um 6 em vários lançamentos, convém calcular o contrário: a probabilidade de não tirar nenhum 6 em todos os lançamentos, que é (5/6) elevado ao número de lançamentos, e subtraí-la de 1.
Com 4 lançamentos: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1.296 = 0,5177, ou seja, aproximadamente 51,8 %. Isto é, jogando um dado quatro vezes é um pouco mais provável tirar um 6 do que não tirar.
| Lançamentos de um dado | Probabilidade de pelo menos um 6 |
|---|---|
| 1 | aprox. 16,7 % |
| 2 | aprox. 30,6 % |
| 3 | aprox. 42,1 % |
| 4 | aprox. 51,8 % |
| 6 | aprox. 66,5 % |
| 8 | aprox. 76,7 % |
Note que com 6 lançamentos você não chega a 100 %: seis chances de 1/6 não somam uma certeza. Cada lançamento novo só reduz um pouco a probabilidade de continuar sem 6.
Dois dados: por que o 7 é a soma mais frequente
Com dois dados de seis faces há 6 × 6 = 36 combinações igualmente prováveis. As somas não são igualmente prováveis porque algumas podem ser formadas de mais maneiras. O 2 só sai com 1+1; o 7 sai com 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 e 6+1, seis formas diferentes.
| Soma | Combinações | Probabilidade |
|---|---|---|
| 2 | 1 de 36 | aprox. 2,8 % |
| 3 | 2 de 36 | aprox. 5,6 % |
| 4 | 3 de 36 | aprox. 8,3 % |
| 5 | 4 de 36 | aprox. 11,1 % |
| 6 | 5 de 36 | aprox. 13,9 % |
| 7 | 6 de 36 | aprox. 16,7 % |
| 8 | 5 de 36 | aprox. 13,9 % |
| 9 | 4 de 36 | aprox. 11,1 % |
| 10 | 3 de 36 | aprox. 8,3 % |
| 11 | 2 de 36 | aprox. 5,6 % |
| 12 | 1 de 36 | aprox. 2,8 % |
Outros dados que saem da mesma tabela: tirar dois seis é 1/36 (aprox. 2,8 %), tirar dois números iguais (uma dupla) é 6/36 = 1/6, e tirar pelo menos um 6 em um lançamento de dois dados é 11/36 (aprox. 30,6 %), igual a jogar um dado duas vezes. Jogar um dado de 12 faces não é o mesmo que jogar dois de 6: o d12 dá o 7 com 1/12 (aprox. 8,3 %), enquanto 2d6 o dá com 1/6.
Dados de RPG: d4, d6, d8, d10, d12 e d20
O número depois do “d” é a quantidade de faces: um d20 dá um número de 1 a 20 com igual probabilidade, ou seja, 5 % cada um. A média de um dado de n faces que vai de 1 a n é (n + 1) / 2: 3,5 para um d6, 10,5 para um d20.
Muitos jogos de RPG usam a regra de vantagem e desvantagem: você joga dois d20 e fica com o maior (vantagem) ou com o menor (desvantagem). As contas, sobre 400 combinações possíveis, são estas:
| Objetivo | Um d20 | Com vantagem | Com desvantagem |
|---|---|---|---|
| Tirar 11 ou mais | 50 % | 75 % | 25 % |
| Tirar 15 ou mais | 30 % | 51 % | 9 % |
| Tirar um 20 | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Média do resultado | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
A vantagem não soma 10 pontos: para precisar de 11 ou mais, passa de 50 % para 75 %; para um 20, de 5 % para 9,75 %. O efeito é maior quando o objetivo está no meio da escala. Além disso, a ferramenta não aplica nenhuma regra de jogo, então, para fazer isso, jogue dois d20 e fique você com o maior ou o menor.
Como usar Cara ou coroa, Lançar dados e Número aleatório
- Em “Cara ou coroa”, escolha quantas moedas quer (até 10) e toque em “Jogar moeda” ou aperte a barra de espaço. Aparece cada moeda, o resultado resumido e, embaixo, a contagem acumulada. Com “Zerar contagem” você recomeça do zero.
- Em “Lançar dados”, escolha a quantidade (de 1 a 10) e as faces (4, 6, 8, 10, 12, 20 ou 100), e toque em “Lançar”. Você vê cada dado, o total e um histórico de jogadas que pode esvaziar com “Limpar histórico”.
- Em “Número aleatório”, defina o mínimo, o máximo (ambos incluídos) e a quantidade. Se não quiser repetições, ative “Sem repetir números” e toque em “Gerar”.
- Para conferir as tabelas deste guia, jogue 10 moedas muitas vezes: o mais comum é 5 caras (24,6 % dos lançamentos) e de 4 a 6 caras somam aproximadamente 65,6 %. Ver 0 ou 10 caras acontece aproximadamente 1 vez a cada 512 lançamentos.
Tudo é calculado no seu dispositivo, sem enviar nada a um servidor. A contagem da moeda e o histórico de dados se perdem ao recarregar a página.
Decidir algo de forma justa
Para duas opções, cara ou coroa é o mais simples. Para mais, use um dado ou um número aleatório atribuindo uma opção a cada número. Um truque útil: se você tem quatro opções, jogue uma moeda duas vezes (cara-cara, cara-coroa, coroa-cara, coroa-coroa) ou um d4. Se tem cinco ou mais, é melhor um número aleatório com o intervalo exato.
Convém que o sorteio seja visível: que todos vejam a tela e que as regras sejam combinadas antes de jogar (qual lado é cada opção e que vale o primeiro lançamento). Mudar de ideia depois de ver o resultado tira toda a justiça. Para sorteios com consequências legais ou com cartório, uma ferramenta online não basta.
O que significa aleatório no navegador
Um computador não joga nada: usa um gerador de números aleatórios. No caso de Lançar dados e Número aleatório, o site usa o gerador criptográfico do navegador, pensado para que os resultados não possam ser previstos e para que cada número do intervalo tenha a mesma probabilidade. A moeda usa o gerador de números aleatórios do navegador com 50 % para cada lado.
Dois avisos honestos. Primeiro, na moeda a animação é só visual: o resultado é decidido antes de ela girar. Segundo, com poucos lançamentos o normal é o resultado parecer desigual: em 100 lançamentos de moeda, o habitual é entre 40 e 60 caras (perto de 96 % das vezes) e não exatamente 50.
Perguntas frequentes
Se saíram cinco caras seguidas, é mais provável que agora saia coroa?
Não. Cada lançamento é independente, então o sexto tem de novo 50 % de cara e 50 % de coroa. Pensar o contrário é a falácia do apostador.
Qual é a probabilidade de tirar 3 caras seguidas?
É 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, ou seja, 12,5 %. Para 5 caras seguidas é 1/32, 3,125 %.
Por que com dois dados o 7 sai mais que o 12?
Porque o 7 se forma de seis maneiras (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) sobre 36 combinações, 16,7 %, e o 12 só com 6+6, ou seja, 2,8 %.
Qual é a chance de tirar pelo menos um 6 em 4 lançamentos de um dado?
1 − (5/6)^4, que é aproximadamente 51,8 %. Calcula-se subtraindo de 1 a probabilidade de não tirar nenhum 6 nos quatro lançamentos.
Os resultados da moeda e dos dados são realmente aleatórios?
São gerados com o gerador de números aleatórios do navegador, sem tendência para nenhuma face. Servem para decidir e para jogar, mas não como comprovante de um sorteio oficial.