La pièce équilibrée et les événements indépendants
Une pièce équilibrée a une probabilité de 1/2 (50 %) de tomber sur pile et 1/2 de tomber sur face. Ce qui compte, c'est que chaque lancer est indépendant : la pièce n'a pas de mémoire. Si cinq piles sont sorties de suite, le sixième lancer reste à 50 et 50.
Croire le contraire s'appelle le biais du joueur (ou sophisme du joueur) : penser que « c'est au tour de face ». Ce qui est vrai, c'est que cinq piles de suite, vues à l'avance, sont un événement peu probable (3,125 %). Mais une fois qu'ils sont passés, ces cinq lancers appartiennent au passé et n'influencent pas le suivant.
Combien de piles de suite : la règle 1/2^n
Comme les lancers sont indépendants, les probabilités se multiplient. Pour n piles de suite (ou n faces, ou n'importe quelle séquence précise choisie à l'avance), la probabilité est 1/2 multiplié par lui-même n fois, soit 1/2^n.
| Lancers de suite | Calcul | Probabilité |
|---|---|---|
| 1 pile | 1/2 | 50 % |
| 2 piles | 1/4 | 25 % |
| 3 piles | 1/8 | 12,5 % |
| 4 piles | 1/16 | 6,25 % |
| 5 piles | 1/32 | 3,125 % |
| 6 piles | 1/64 | 1,5625 % |
| 8 piles | 1/256 | env. 0,39 % |
| 10 piles | 1/1 024 | env. 0,098 % |
Attention à un piège fréquent : 1/32 est la probabilité que les cinq premiers lancers soient des piles, mais si tu lances beaucoup de fois, une série de cinq identiques à un moment donné est normale. Sur 100 lancers, la probabilité qu'apparaisse quelque part une série d'au moins 5 du même côté (piles ou faces) tourne autour de 97 %, et d'au moins 6 autour de 81 %. Une longue série dans une longue suite ne prouve pas que la pièce soit truquée.
Un dé et la probabilité d'obtenir au moins un 6
Un dé à six faces équilibré donne chaque nombre avec une probabilité de 1/6, soit environ 16,7 %. Pour connaître la probabilité d'obtenir au moins un 6 en plusieurs lancers, il vaut mieux calculer le contraire : la probabilité de n'obtenir aucun 6 sur tous les lancers, qui est (5/6) puissance le nombre de lancers, puis la retirer de 1.
Avec 4 lancers : 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1 296 = 0,5177, soit environ 51,8 %. Autrement dit, en lançant un dé quatre fois, il est un peu plus probable d'obtenir un 6 que de ne pas en obtenir.
| Lancers d'un dé | Probabilité d'au moins un 6 |
|---|---|
| 1 | env. 16,7 % |
| 2 | env. 30,6 % |
| 3 | env. 42,1 % |
| 4 | env. 51,8 % |
| 6 | env. 66,5 % |
| 8 | env. 76,7 % |
Remarque : avec 6 lancers, tu n'atteins pas 100 % : six chances de 1/6 ne font pas une certitude. Chaque nouveau lancer ne réduit qu'un peu la probabilité de rester sans 6.
Deux dés : pourquoi le 7 est la somme la plus fréquente
Avec deux dés à six faces, il y a 6 × 6 = 36 combinaisons également probables. Les sommes ne sont pas également probables, car certaines peuvent se former de plusieurs façons. Le 2 ne sort qu'avec 1+1 ; le 7 sort avec 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 et 6+1, soit six façons différentes.
| Somme | Combinaisons | Probabilité |
|---|---|---|
| 2 | 1 sur 36 | env. 2,8 % |
| 3 | 2 sur 36 | env. 5,6 % |
| 4 | 3 sur 36 | env. 8,3 % |
| 5 | 4 sur 36 | env. 11,1 % |
| 6 | 5 sur 36 | env. 13,9 % |
| 7 | 6 sur 36 | env. 16,7 % |
| 8 | 5 sur 36 | env. 13,9 % |
| 9 | 4 sur 36 | env. 11,1 % |
| 10 | 3 sur 36 | env. 8,3 % |
| 11 | 2 sur 36 | env. 5,6 % |
| 12 | 1 sur 36 | env. 2,8 % |
D'autres chiffres qui découlent du même tableau : obtenir deux six, c'est 1/36 (env. 2,8 %), obtenir deux nombres identiques (un double), c'est 6/36 = 1/6, et obtenir au moins un 6 en un lancer de deux dés, c'est 11/36 (env. 30,6 %), comme en lançant un dé deux fois. Lancer un dé à 12 faces n'est pas la même chose que lancer deux dés à 6 faces : le d12 donne le 7 avec 1/12 (env. 8,3 %), alors que 2d6 le donne avec 1/6.
Dés de jeu de rôle : d4, d6, d8, d10, d12 et d20
Le nombre après le « d » est le nombre de faces : un d20 donne un nombre de 1 à 20 avec la même probabilité, soit 5 % chacun. La moyenne d'un dé à n faces allant de 1 à n est (n + 1) / 2 : 3,5 pour un d6, 10,5 pour un d20.
Beaucoup de jeux de rôle utilisent la règle d'avantage et de désavantage : tu lances deux d20 et tu gardes le plus grand (avantage) ou le plus petit (désavantage). Les calculs, sur 400 combinaisons possibles, sont les suivants :
| Objectif | Un d20 | Avec avantage | Avec désavantage |
|---|---|---|---|
| Faire 11 ou plus | 50 % | 75 % | 25 % |
| Faire 15 ou plus | 30 % | 51 % | 9 % |
| Faire un 20 | 5 % | 9,75 % | 0,25 % |
| Moyenne du résultat | 10,5 | 13,825 | 7,175 |
L'avantage n'ajoute pas 10 points : pour avoir besoin d'un 11 ou plus, on passe de 50 % à 75 % ; pour un 20, de 5 % à 9,75 %. L'effet est plus grand quand l'objectif se situe au milieu de l'échelle. De plus, l'outil n'applique aucune règle de jeu : pour faire cela, lance deux d20 et garde toi-même le plus grand ou le plus petit.
Comment utiliser Pile ou face, Lancer de dés et Nombre aléatoire
- Dans « Pile ou face », choisis combien de pièces tu veux (jusqu'à 10) et appuie sur « Lancer la pièce » ou sur la barre d'espace. Chaque pièce s'affiche, avec le résultat résumé et, en dessous, le compteur cumulé. Avec « Réinitialiser le compteur », tu repars de zéro.
- Dans « Lancer de dés », choisis le nombre de dés (de 1 à 10) et les faces (4, 6, 8, 10, 12, 20 ou 100), puis appuie sur « Lancer ». Tu vois chaque dé, le total et un historique des lancers que tu peux vider avec « Effacer l'historique ».
- Dans « Nombre aléatoire », définis le minimum, le maximum (tous deux inclus) et la quantité. Si tu ne veux pas de répétitions, active « Sans répéter les nombres » et appuie sur « Générer ».
- Pour vérifier les tableaux de ce guide, lance 10 pièces un grand nombre de fois : le cas le plus fréquent est 5 piles (24,6 % des lancers), et de 4 à 6 piles représentent environ 65,6 %. Obtenir 0 ou 10 piles arrive environ 1 fois sur 512.
Tout est calculé sur ton appareil, sans rien envoyer à un serveur. Le compteur de la pièce et l'historique des dés sont perdus quand tu recharges la page.
Décider quelque chose équitablement
Pour deux options, pile ou face est le plus simple. Pour davantage, utilise un dé ou un nombre aléatoire en associant une option à chaque nombre. Une astuce utile : avec quatre options, lance une pièce deux fois (PP, PF, FP, FF) ou un d4. Avec cinq options ou plus, mieux vaut un nombre aléatoire avec la plage exacte.
Il vaut mieux que le tirage soit visible : que tout le monde voie l'écran et que les règles soient convenues avant de lancer (quel côté correspond à quelle option, et que le premier lancer fait foi). Changer d'avis après avoir vu le résultat enlève toute équité. Pour des tirages au sort ayant des conséquences légales ou devant huissier, un outil en ligne ne suffit pas.
Que signifie « aléatoire » dans le navigateur
Un ordinateur ne lance rien : il utilise un générateur de nombres aléatoires. Pour Lancer de dés et Nombre aléatoire, le site utilise le générateur cryptographique du navigateur, conçu pour que les résultats ne soient pas prévisibles et que chaque nombre de la plage ait la même probabilité. La pièce utilise le générateur de nombres aléatoires du navigateur avec 50 % pour chaque côté.
Deux mises en garde honnêtes. D'abord, pour la pièce, l'animation est purement visuelle : le résultat est décidé avant qu'elle ne tourne. Ensuite, avec peu de lancers, il est normal que le résultat paraisse inégal : sur 100 lancers de pièce, on obtient en général entre 40 et 60 piles (environ 96 % des fois), et pas exactement 50.
Questions fréquentes
Si cinq piles sont sorties de suite, est-il plus probable que face sorte maintenant ?
Non. Chaque lancer est indépendant : le sixième a de nouveau 50 % de pile et 50 % de face. Penser le contraire, c'est le biais du joueur.
Quelle est la probabilité d'obtenir 3 piles de suite ?
C'est 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, soit 12,5 %. Pour 5 piles de suite, c'est 1/32, soit 3,125 %.
Pourquoi le 7 sort-il plus souvent que le 12 avec deux dés ?
Parce que le 7 se forme de six façons (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) sur 36 combinaisons, soit 16,7 %, et le 12 seulement avec 6+6, soit 2,8 %.
Quelle probabilité a-t-on d'obtenir au moins un 6 en 4 lancers d'un dé ?
1 − (5/6)^4, soit environ 51,8 %. On le calcule en retirant de 1 la probabilité de n'obtenir aucun 6 sur les quatre lancers.
Les résultats de la pièce et des dés sont-ils vraiment aléatoires ?
Ils sont générés avec le générateur de nombres aléatoires du navigateur, sans biais vers un côté. Ils conviennent pour décider et pour jouer, mais pas comme preuve d'un tirage officiel.