நியாயமான நாணயமும் சார்பற்ற நிகழ்வுகளும்
நியாயமான நாணயம் தலை விழ 1/2 (50 %), பூ விழ 1/2 நிகழ்தகவு கொண்டது. முக்கியம் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு சுண்டலும் சார்பற்றது: நாணயத்துக்கு நினைவு இல்லை. தொடர்ந்து ஐந்து தலைகள் விழுந்திருந்தாலும், ஆறாவது சுண்டலில் மீண்டும் 50-க்கு 50 தான்.
இதற்கு மாறாக நம்புவது சூதாடியின் தவறான நம்பிக்கை எனப்படும்: “இப்போது பூவின் முறை” என்று நினைப்பது. உண்மை என்னவென்றால், ஐந்து தலைகள் தொடர்ந்து வருவது முன்கூட்டியே பார்த்தால் அரிதான நிகழ்வு (3.125 %). ஆனால் அது நடந்து முடிந்த பிறகு, அந்த ஐந்து சுண்டல்களும் கடந்த காலம்; அடுத்ததை அவை பாதிப்பதில்லை.
எத்தனை தலைகள் தொடர்ந்து: 1/2^n விதி
சுண்டல்கள் சார்பற்றவை என்பதால் நிகழ்தகவுகள் பெருக்கப்படுகின்றன. தொடர்ந்து n தலைகளுக்கு (அல்லது n பூக்களுக்கு, அல்லது முன்கூட்டியே தேர்ந்தெடுக்கும் எந்த ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசைக்கும்) நிகழ்தகவு 1/2-ஐ n முறை தன்னாலேயே பெருக்கியது, அதாவது 1/2^n.
| தொடர்ந்து சுண்டல்கள் | கணக்கு | நிகழ்தகவு |
|---|---|---|
| 1 தலை | 1/2 | 50 % |
| 2 தலைகள் | 1/4 | 25 % |
| 3 தலைகள் | 1/8 | 12.5 % |
| 4 தலைகள் | 1/16 | 6.25 % |
| 5 தலைகள் | 1/32 | 3.125 % |
| 6 தலைகள் | 1/64 | 1.5625 % |
| 8 தலைகள் | 1/256 | ஏறக்குறைய 0.39 % |
| 10 தலைகள் | 1/1,024 | ஏறக்குறைய 0.098 % |
அடிக்கடி நேரும் ஒரு பொறி: 1/32 என்பது முதல் ஐந்து சுண்டல்களும் தலையாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு; ஆனால் பலமுறை சுண்டினால், எப்போதாவது ஐந்து ஒரே மாதிரியான தொடர் வருவது சாதாரணம். 100 சுண்டல்களில், ஒரே பக்கத்தில் (தலை அல்லது பூ) குறைந்தது 5 தொடர்ந்து வரும் நிகழ்தகவு சுமார் 97 %, குறைந்தது 6 என்றால் சுமார் 81 %. நீண்ட தொடரில் நீண்ட வரிசை வருவது நாணயம் ஏமாற்றுக்குரியது என்பதற்கான அறிகுறி அல்ல.
ஒரு பகடையும் குறைந்தது ஒரு 6 விழும் நிகழ்தகவும்
நியாயமான ஆறு முகப் பகடை ஒவ்வொரு எண்ணையும் 1/6 நிகழ்தகவில், ஏறக்குறைய 16.7 %, தருகிறது. பல உருட்டல்களில் குறைந்தது ஒரு 6 வரும் வாய்ப்பை அறிய, எதிர்மாறைக் கணக்கிடுவது வசதி: எல்லா உருட்டல்களிலும் ஒரு 6-ம் வராத நிகழ்தகவு (5/6)-இன் உருட்டல் எண்ணிக்கை அடுக்கு; அதை 1-இலிருந்து கழியுங்கள்.
4 உருட்டல்களுக்கு: 1 − (5/6)^4 = 1 − 625/1,296 = 0.5177, அதாவது ஏறக்குறைய 51.8 %. அதாவது ஒரு பகடையை நான்கு முறை உருட்டினால் 6 விழுவது, விழாமல் இருப்பதைவிடச் சற்று அதிக வாய்ப்பு.
| ஒரு பகடையின் உருட்டல்கள் | குறைந்தது ஒரு 6 விழும் நிகழ்தகவு |
|---|---|
| 1 | ஏறக்குறைய 16.7 % |
| 2 | ஏறக்குறைய 30.6 % |
| 3 | ஏறக்குறைய 42.1 % |
| 4 | ஏறக்குறைய 51.8 % |
| 6 | ஏறக்குறைய 66.5 % |
| 8 | ஏறக்குறைய 76.7 % |
6 உருட்டல்களில் 100 %-ஐ எட்டுவதில்லை என்பதைக் கவனியுங்கள்: 1/6 வாய்ப்புகள் ஆறு சேர்ந்தால் உறுதி ஆகாது. ஒவ்வொரு புதிய உருட்டலும் 6 இல்லாமல் தொடரும் நிகழ்தகவைக் கொஞ்சமே குறைக்கிறது.
இரண்டு பகடைகள்: 7 ஏன் அடிக்கடி வரும் கூட்டுத்தொகை
இரண்டு ஆறு முகப் பகடைகளுடன் 6 × 6 = 36 சம வாய்ப்புள்ள சேர்க்கைகள் உள்ளன. கூட்டுத்தொகைகள் சம வாய்ப்புள்ளவை அல்ல; ஏனெனில் சிலவற்றை அதிக வழிகளில் உருவாக்கலாம். 2 என்பது 1+1 மூலம் மட்டுமே வரும்; 7 என்பது 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 என ஆறு வெவ்வேறு வழிகளில் வரும்.
| கூட்டுத்தொகை | சேர்க்கைகள் | நிகழ்தகவு |
|---|---|---|
| 2 | 36-இல் 1 | ஏறக்குறைய 2.8 % |
| 3 | 36-இல் 2 | ஏறக்குறைய 5.6 % |
| 4 | 36-இல் 3 | ஏறக்குறைய 8.3 % |
| 5 | 36-இல் 4 | ஏறக்குறைய 11.1 % |
| 6 | 36-இல் 5 | ஏறக்குறைய 13.9 % |
| 7 | 36-இல் 6 | ஏறக்குறைய 16.7 % |
| 8 | 36-இல் 5 | ஏறக்குறைய 13.9 % |
| 9 | 36-இல் 4 | ஏறக்குறைய 11.1 % |
| 10 | 36-இல் 3 | ஏறக்குறைய 8.3 % |
| 11 | 36-இல் 2 | ஏறக்குறைய 5.6 % |
| 12 | 36-இல் 1 | ஏறக்குறைய 2.8 % |
இதே அட்டவணையிலிருந்து வரும் பிற தகவல்கள்: இரண்டு ஆறுகள் விழுவது 1/36 (ஏறக்குறைய 2.8 %), இரண்டு ஒரே எண்கள் (இரட்டை) விழுவது 6/36 = 1/6, இரண்டு பகடைகளின் ஓர் உருட்டலில் குறைந்தது ஒரு 6 விழுவது 11/36 (ஏறக்குறைய 30.6 %); ஒரு பகடையை இருமுறை உருட்டுவதும் இதே. 12 முகப் பகடையை உருட்டுவது இரண்டு 6 முகப் பகடைகளை உருட்டுவதற்குச் சமம் அல்ல: d12 7-ஐ 1/12 (ஏறக்குறைய 8.3 %) நிகழ்தகவில் தருகிறது; 2d6 அதை 1/6-இல் தருகிறது.
பாத்திர விளையாட்டுப் பகடைகள்: d4, d6, d8, d10, d12, d20
“d”-க்குப் பின் வரும் எண் முகங்களின் எண்ணிக்கை: d20 1 முதல் 20 வரை ஒரு எண்ணைச் சம நிகழ்தகவில், அதாவது ஒவ்வொன்றும் 5 %, தருகிறது. 1 முதல் n வரை செல்லும் n முகப் பகடையின் சராசரி (n + 1) / 2: d6-க்கு 3.5, d20-க்கு 10.5.
பல பாத்திர விளையாட்டுகள் சாதகம், பாதகம் விதியைப் பயன்படுத்துகின்றன: இரண்டு d20 உருட்டி பெரியதை (சாதகம்) அல்லது சிறியதை (பாதகம்) எடுத்துக்கொள்வீர்கள். 400 சாத்தியச் சேர்க்கைகளில் கணக்குகள் இவை:
| இலக்கு | ஒரு d20 | சாதகத்துடன் | பாதகத்துடன் |
|---|---|---|---|
| 11 அல்லது அதற்கு மேல் | 50 % | 75 % | 25 % |
| 15 அல்லது அதற்கு மேல் | 30 % | 51 % | 9 % |
| ஒரு 20 பெறுவது | 5 % | 9.75 % | 0.25 % |
| முடிவின் சராசரி | 10.5 | 13.825 | 7.175 |
சாதகம் 10 புள்ளிகளைக் கூட்டுவதில்லை: 11 அல்லது அதற்கு மேல் தேவைப்படும்போது 50 %-இலிருந்து 75 %-க்கு, 20-க்கு 5 %-இலிருந்து 9.75 %-க்கு உயர்கிறது. இலக்கு அளவின் நடுவில் இருக்கும்போது விளைவு அதிகம். மேலும், கருவி எந்த விளையாட்டு விதியையும் பயன்படுத்துவதில்லை; எனவே இதைச் செய்ய இரண்டு d20 உருட்டி, பெரியதையோ சிறியதையோ நீங்களே எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்.
நாணயம் சுண்டுதல், பகடை உருட்டி, ரேண்டம் எண் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவது எப்படி
- “நாணயம் சுண்டுதல்” கருவியில் எத்தனை நாணயங்கள் வேண்டும் (10 வரை) என்று தேர்ந்தெடுத்து “நாணயத்தைச் சுண்டு” என்பதைத் தொடுங்கள் அல்லது இடைவெளிப் பட்டையை அழுத்துங்கள். ஒவ்வொரு நாணயமும், சுருக்கிய முடிவும், கீழே சேர்ந்த எண்ணிக்கையும் காட்டப்படும். “எண்ணிக்கையை மீட்டமை” என்பதால் பூஜ்யத்திலிருந்து தொடங்கலாம்.
- “பகடை உருட்டி” கருவியில் எண்ணிக்கையையும் (1 முதல் 10) பக்கங்களையும் (4, 6, 8, 10, 12, 20 அல்லது 100) தேர்ந்தெடுத்து “உருட்டு” என்பதைத் தொடுங்கள். ஒவ்வொரு பகடையும், மொத்தமும், “வரலாற்றை அழி” மூலம் காலியாக்கக்கூடிய உருட்டல் வரலாறும் தெரியும்.
- “ரேண்டம் எண்” கருவியில் குறைந்தபட்சம், அதிகபட்சம் (இரண்டும் உட்பட), அளவு ஆகியவற்றை நிர்ணயியுங்கள். எண்கள் மீளக்கூடாது என்றால் “மீளும் எண்கள் இல்லை” என்பதை இயக்கி “உருவாக்கு” என்பதைத் தொடுங்கள்.
- இந்த வழிகாட்டியின் அட்டவணைகளைச் சோதிக்க, 10 நாணயங்களைப் பலமுறை சுண்டுங்கள்: மிகவும் வழக்கமானது 5 தலைகள் (உருட்டல்களில் 24.6 %); 4 முதல் 6 தலைகள் சேர்ந்து ஏறக்குறைய 65.6 %. 0 அல்லது 10 தலைகள் ஏறக்குறைய 512 உருட்டல்களில் ஒருமுறை நிகழும்.
அனைத்தும் உங்கள் சாதனத்திலேயே கணக்கிடப்படுகின்றன; எதுவும் சேவையகத்துக்கு அனுப்பப்படுவதில்லை. நாணய எண்ணிக்கையும் பகடை வரலாறும் பக்கத்தை மீண்டும் ஏற்றும்போது அழிந்துவிடும்.
ஒன்றை நியாயமாக முடிவு செய்வது
இரண்டு தேர்வுகளுக்கு, தலை பூ சுண்டுவதே எளிது. அதிகத் தேர்வுகளுக்கு, ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் ஒரு தேர்வை ஒதுக்கி பகடையையோ ரேண்டம் எண்ணையோ பயன்படுத்துங்கள். பயனுள்ள ஒரு தந்திரம்: நான்கு தேர்வுகள் இருந்தால் நாணயத்தை இருமுறை சுண்டுங்கள் (தலை-தலை, தலை-பூ, பூ-தலை, பூ-பூ) அல்லது d4 பயன்படுத்துங்கள். ஐந்து அல்லது அதற்கு மேல் இருந்தால், சரியான வரம்புடன் ஒரு ரேண்டம் எண் சிறந்தது.
சீட்டு போடுவது அனைவருக்கும் தெரியும்படி இருக்க வேண்டும்: எல்லோரும் திரையைப் பார்க்க வேண்டும்; உருட்டுவதற்கு முன் விதிகளை ஒப்புக்கொள்ள வேண்டும் (எந்தப் பக்கம் எந்தத் தேர்வு, முதல் சுண்டலே செல்லும் என்பது). முடிவைப் பார்த்த பிறகு மனம் மாற்றினால் நியாயம் முழுவதும் போய்விடும். சட்டப்பூர்வ விளைவுகள் உள்ள அல்லது அதிகாரபூர்வ சான்று தேவைப்படும் குலுக்கல்களுக்கு ஆன்லைன் கருவி போதாது.
உலாவியில் “ரேண்டம்” என்றால் என்ன
கணினி எதையும் உருட்டுவதில்லை: அது ரேண்டம் எண் உருவாக்கியைப் பயன்படுத்துகிறது. பகடை உருட்டி, ரேண்டம் எண் கருவிகளில், தளம் உலாவியின் குறியாக்கவியல் உருவாக்கியைப் பயன்படுத்துகிறது; முடிவுகளை முன்கணிக்க முடியாதபடியும் வரம்பின் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் ஒரே நிகழ்தகவு இருக்கும்படியும் இது வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. நாணயம், ஒவ்வொரு பக்கத்துக்கும் 50 % என உலாவியின் ரேண்டம் எண் உருவாக்கியைப் பயன்படுத்துகிறது.
இரண்டு நேர்மையான எச்சரிக்கைகள். முதலாவது, நாணயத்தில் அனிமேஷன் காட்சிக்கு மட்டுமே: முடிவு சுழலத் தொடங்கும் முன்பே தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது, சில சுண்டல்களில் முடிவு சமமற்றதாகத் தெரிவதே இயல்பு: 100 நாணயச் சுண்டல்களில் வழக்கமாக 40 முதல் 60 தலைகள் (சுமார் 96 % நேரம்) வரும்; சரியாக 50 அல்ல.
அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்
தொடர்ந்து ஐந்து தலைகள் விழுந்திருந்தால், இப்போது பூ விழும் வாய்ப்பு அதிகமா?
இல்லை. ஒவ்வொரு சுண்டலும் சார்பற்றது; எனவே ஆறாவதிலும் தலை 50 %, பூ 50 %. வேறுவிதமாக நினைப்பது சூதாடியின் தவறான நம்பிக்கை.
தொடர்ந்து 3 தலைகள் விழும் நிகழ்தகவு என்ன?
1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, அதாவது 12.5 %. தொடர்ந்து 5 தலைகளுக்கு 1/32, 3.125 %.
இரண்டு பகடைகளில் 12-ஐவிட 7 ஏன் அடிக்கடி வருகிறது?
ஏனெனில் 7 என்பது 36 சேர்க்கைகளில் ஆறு வழிகளில் (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) உருவாகிறது, 16.7 %; 12 என்பது 6+6 மூலம் மட்டுமே, அதாவது 2.8 %.
ஒரு பகடையின் 4 உருட்டல்களில் குறைந்தது ஒரு 6 விழும் நிகழ்தகவு என்ன?
1 − (5/6)^4, அது ஏறக்குறைய 51.8 %. நான்கு உருட்டல்களிலும் ஒரு 6-ம் வராத நிகழ்தகவை 1-இலிருந்து கழித்துக் கணக்கிடலாம்.
நாணயம், பகடை முடிவுகள் உண்மையிலேயே தற்செயலானவையா?
அவை உலாவியின் ரேண்டம் எண் உருவாக்கியால், எந்தப் பக்கத்தின் மீதும் சார்பின்றி உருவாக்கப்படுகின்றன. முடிவு செய்யவும் விளையாடவும் பயன்படும்; ஆனால் அதிகாரபூர்வக் குலுக்கலுக்கான சான்றாக அல்ல.