Vier op een rij is opgelost: zo win je en waarom beginnen een voordeel is

Wat het betekent dat een spel is opgelost

Een spel is opgelost als je de uitkomst kent die je krijgt als beide spelers vanaf de beginstand perfect spelen. Er zijn drie gebruikelijke graden. Bij de «ultra-zwakke» oplossing weet je alleen wie wint of dat het gelijkspel is, zonder de strategie te kennen. Bij de «zwakke» ken je daarnaast een strategie die dat resultaat vanaf het begin garandeert. Bij de «sterke» ken je het beste resultaat vanuit elke mogelijke stand.

Bij Vier op een rij op het klassieke bord van 7 kolommen bij 6 rijen is de uitkomst duidelijk: met perfect spel wint de speler die begint. Dat betekent niet dat hij in de praktijk altijd wint, want daarvoor moet hij elke beurt de juiste zet vinden, en partijen tussen mensen zitten vol fouten.

Wie het oploste en wanneer

Het verhaal heeft twee hoofdpersonen die in oktober 1988 onafhankelijk van elkaar tot dezelfde conclusie kwamen. De eerste was James Dow Allen, die zijn oplossing op 1 oktober 1988 meldde in een bericht aan de discussiegroep rec.games.programmer. Vijftien dagen later, op 16 oktober, presenteerde de Nederlandse onderzoeker Victor Allis zijn eigen oplossing, beschreven in zijn werk «A Knowledge-based Approach of Connect-Four» van de Vrije Universiteit.

De methode van Allis was «kennisgebaseerd»: in plaats van alle standen na te lopen, formuleerde hij strategische regels, zoals welke vakjes je moet beheersen en welke dreigingen er toe doen, en combineerde die met zoeken om te bewijzen dat de eerste speler de overwinning kan afdwingen. Later kwam men met brute kracht, met databases van standen en krachtige computers, tot hetzelfde resultaat; de programmeur John Tromp bouwde bijvoorbeeld een database met alle standen van 8 stenen die als startpunt diende. Beide wegen komen overeen.

De sleutel van de opening: de middelste kolom

Niet elke eerste zet volstaat. De uitkomst hangt af van de kolom waarin de eerste speler begint:

Wat «wie begint wint» in de praktijk betekent

Dat de theorie zegt dat de eerste wint, garandeert niets als de tegenstander goed speelt: het voordeel is echt, maar vraagt precisie. Toch geeft beginnen je twee concrete dingen. Het eerste is het initiatief: jij zet eerst en de tegenstander moet vaak op jouw dreigingen reageren. Het tweede is de pariteit, een praktische regel die onder spelers veel wordt gebruikt: omdat het bord 6 rijen heeft, een even getal, en er om beurten wordt gespeeld, blijven de vakjes in de oneven rijen (de 1e, 3e en 5e, van onderen geteld) meestal voor degene die begon, en die in de even rijen voor de tweede. Daarom is een dreiging in een oneven rij vaak meer waard voor de eerste speler.

Waarom het midden zo veel waard is

De stenen in de middelste kolom doen mee in meer mogelijke lijnen dan die in elke andere kolom. Vanuit het midden kun je vier op een rij maken horizontaal, verticaal en op beide diagonalen met veel verschillende combinaties; een steen aan de rand is vrijwel alleen goed voor een of twee richtingen. Daarom ordenen sterke programma's hun zetten van het midden naar buiten, en daarom beginnen openingsboeken bij kolom 4.

Voor jou is de praktische regel eenvoudig: heb je geen duidelijk betere zet, kies dan een kolom dicht bij het midden. En bezet de tegenstander eerst het midden, wanhoop dan niet: de kolommen ernaast blijven heel goed.

Tips om vaker te winnen van mensen

• Begin je, open dan in de middelste kolom. Het is de enige opening die met perfect spel wint.
• Zoek dubbele dreigingen: twee lijnen van drie met het sluitende vakje tegelijk beschikbaar. De tegenstander kan er maar één blokkeren. Het is de meest voorkomende manier om van mensen te winnen.
• Denk aan dreigingen «in de lucht»: een lijn van drie waarvan het laatste vakje nog niet bereikt kan worden omdat er een steen onder ontbreekt. Ligt dat vakje in een rij die je door de pariteit goed uitkomt, dan moet de tegenstander vroeg of laat eronder spelen en het je geven.
• Kijk voordat je een steen laat vallen welk vakje er direct boven vrijkomt. Geef je de tegenstander een vakje waarmee hij een lijn sluit, dan heb je verloren.
• Blokkeer lijnen van drie die aan beide kanten open zijn voordat ze ontstaan: dat is een zekere nederlaag. Kijk een beurt vooruit.
• In de eindfase telt wie zonder veilige zetten komt te zitten: let op de kolommen die je nog zonder gevaar kunt spelen.
• Ben je de tweede, mik dan op de vakjes in de even rijen en blokkeer zonder haast elke dreiging in de oneven rijen: dat is je beste weg naar gelijkspel of naar een fout van de tegenstander.

Dus de computer kan niet verliezen?

Een programma dat vanaf het begin perfect speelde en als eerste begon, zou nooit verliezen, maar dat is een bewering over de theoretische oplossing van het spel, niet over elk programma. De hele partij vanaf de beginstand oplossen vraagt enorm veel rekenwerk, en dat lukt in een browser, met nauwelijks anderhalve seconde per zet, niet.

Daarom wordt het niveau «Onverslaanbaar» van ons Vier op een rij gepresenteerd als wat het is: het sterkste niveau. Het gebruikt alfa-beta-zoeken met iteratieve verdieping, een tabel die al geziene standen onthoudt, een kolomvolgorde die in het midden begint en een heel kort openingsboek. Het analyseert veel zetten vooruit en laat bijna geen fouten toe, maar we beloven niet dat het onmogelijk is om te winnen. Als het je lukt het te verslaan, heb je echt gewonnen.

Hoe je oefent

Een goede manier om beter te worden is te spelen tegen de computer op het niveau Moeilijk en daarna tegen Onverslaanbaar, waarbij je afwisselt wie begint. Als je verliest, loop de partij dan na en zoek in welke beurt de dubbele dreiging verscheen: bijna altijd is die terug te voeren op een eerdere rustige zet. Het is ook goed de varianten te proberen, zoals het grotere bord of de modus PopOut, die je op een andere manier laten denken en je bordoverzicht trainen.

Veelgestelde vragen