Die zwei Grundrechnungen: X % einer Zahl und wie viel Prozent A von B ist
Um X % einer Zahl zu berechnen, teile X durch 100 und multipliziere. 15 % von 80 sind 0,15 × 80 = 12. 18 % von 250 sind 0,18 × 250 = 45.
Um zu wissen, wie viel Prozent A von B ist, teile A durch B und multipliziere mit 100. Hast du von 240 Fragen 36 richtig, sind das (36 ÷ 240) × 100 = 15 %. Beachte, dass der Gesamtwert (240) bei der Division immer unten steht: Die Zahlen zu vertauschen ist der häufigste Fehler und ergibt ein absurdes Ergebnis wie 667 %.
Im Prozentrechner sind das die ersten beiden Modi: „X % von einer Zahl“ und „Wie viel Prozent ist eine Zahl von einer anderen?“. Du gibst die beiden Zahlen ein, das Ergebnis erscheint sofort, zusammen mit der Formel, in die deine Werte eingesetzt sind.
Prozentuale Erhöhung und Verminderung
Die prozentuale Veränderung vergleicht einen Anfangs- mit einem Endwert: ((Ende − Anfang) ÷ Anfang) × 100. Ging etwas von 80 auf 92, beträgt die Veränderung (12 ÷ 80) × 100 = +15 %. Fiel es von 92 auf 80, sind es (−12 ÷ 92) × 100 = −13,04 %. Derselbe Sprung von 12 Einheiten ergibt unterschiedliche Prozente, weil sich die Basis ändert: Man teilt immer durch den Ausgangswert.
Um eine Erhöhung oder Senkung auf einen Wert anzuwenden, multipliziere mit (1 + % ÷ 100) oder mit (1 − % ÷ 100). Ein Preis von 100 mit einer Erhöhung von 20 % liegt bei 100 × 1,20 = 120; mit einem Rabatt von 20 % bei 100 × 0,80 = 80.
Im Prozentrechner findest du „Prozentuale Veränderung“, „Wert erhöhen“ und „Rabatt oder Verminderung“. Es gibt auch die speziellen Tools Rabattrechner (Endpreis und Ersparnis) und Prozentuale Veränderung (positives Ergebnis, wenn es gestiegen ist, negatives, wenn es gefallen ist).
Der klassische Fehler: +20 % und dann −20 % führen nicht zum Ausgangswert zurück
Steigt ein Wert von 100 um 20 %, liegt er bei 120. Fällt er danach um 20 %, ist er nicht wieder bei 100: Die 20 % werden jetzt von 120 berechnet, also 24, und er liegt bei 96. Du hast 4 Einheiten verloren. Dasselbe passiert umgekehrt und mit jedem Prozentsatz, weil der zweite Prozentsatz auf eine andere Basis angewendet wird.
Um eine Erhöhung rückgängig zu machen, braucht es einen kleineren Prozentsatz, und um eine Senkung rückgängig zu machen, einen größeren. Die Tabelle zeigt, wie viel.
| Wenn es gestiegen ist um | Um zum Ausgangswert zurückzukommen, muss es fallen um | Wenn es gefallen ist um | Um zurückzukommen, muss es steigen um |
|---|---|---|---|
| 10 % | 9,09 % | 10 % | 11,11 % |
| 20 % | 16,67 % | 20 % | 25 % |
| 25 % | 20 % | 25 % | 33,33 % |
| 50 % | 33,33 % | 50 % | 100 % |
| 100 % | 50 % | 75 % | 300 % |
Kennst du den Endwert und den angewendeten Prozentsatz und willst den ursprünglichen Wert, dann ziehe den Prozentsatz nicht vom Ende ab und addiere ihn nicht: Teile. Ein Preis von 80 nach einem Rabatt von 20 % lag vorher bei 80 ÷ 0,80 = 100. Ein Preis von 150 nach 25 % Rabatt lag bei 150 ÷ 0,75 = 200 (und nicht bei 150 × 1,25 = 187,5). Der Prozentrechner hat dafür die Modi „Wert vor einer Erhöhung“ und „Wert vor einem Rabatt“.
Aufeinanderfolgende Rabatte
Zwei Rabatte hintereinander werden nicht addiert: Sie werden nacheinander angewendet. Ein Artikel für 200 mit 30 % Rabatt kostet 200 × 0,70 = 140; kommen zusätzlich 20 % dazu, sind es 140 × 0,80 = 112. Der Gesamtrabatt beträgt nicht 50 %, sondern 44 % (du hast 88 von 200 gespart). Der Gesamtfaktor ist 0,70 × 0,80 = 0,56.
Der Rabattrechner wendet immer nur einen Rabatt an. Für einen doppelten Rabatt nimmst du also den Endpreis des ersten als Ausgangswert für den zweiten.
Steuer wie die Mehrwertsteuer aufschlagen und herausrechnen
Um einen Nettopreis um eine Steuer zu erhöhen, multipliziere mit (1 + Satz): Bei einem Satz von 21 % wird aus netto 100 dann 100 × 1,21 = 121. Um sie aus einem Endpreis herauszurechnen, teile durch (1 + Satz): 121 ÷ 1,21 = 100.
Der typische Fehler ist, vom Gesamtbetrag 21 % abzuziehen: 121 − 21 % von 121 = 121 − 25,41 = 95,59, und das ist nicht der Nettobetrag. Es ist dasselbe Problem wie im vorigen Abschnitt: Die Steuer wurde auf den Nettobetrag berechnet, nicht auf den Gesamtbetrag.
Im Mehrwertsteuerrechner wählst du „MwSt. aufschlagen“ oder „MwSt. herausrechnen“, gibst den Betrag ein und wählst das Land oder schreibst den Satz selbst. Er zeigt dir den Preis ohne MwSt., die MwSt. und den Preis mit MwSt. Die Liste verwendet die allgemeinen Sätze, die sich geändert haben können; prüfe den aktuellen und ob dein Produkt einen ermäßigten Satz hat. Er ersetzt weder eine Steuerberatung noch eine offizielle Rechnung.
Trinkgeld und geteilte Rechnung
Das Trinkgeld ist ein Prozentsatz des Rechnungsbetrags. Bei einer Rechnung von 84,00 und 15 % Trinkgeld: 84,00 × 0,15 = 12,60 Trinkgeld und 96,60 insgesamt. Bei 4 Personen sind das 96,60 ÷ 4 = 24,15 pro Person. Bei 18 % beträgt das Trinkgeld 15,12, die Summe 99,12 und jede Person zahlt 24,78.
Im Trinkgeldrechner gibst du den „Rechnungsbetrag“ ein, wählst den Prozentsatz über die Tasten für häufige Prozentsätze oder von Hand, nennst die „Anzahl der Personen“ und fertig. Mit dem Kästchen „Den Betrag pro Person aufrunden“ zahlt jede Person einen glatten Betrag. Das Tool teilt in gleiche Teile und berechnet den Prozentsatz auf den Betrag, den du eingibst, einschließlich Steuern, falls welche enthalten sind. Welcher Trinkgeldsatz üblich ist, hängt vom Land und vom Lokal ab.
Prozentpunkte, Zinsen und Inflation
Wenn ein Satz von 4 % auf 6 % steigt, ist er um 2 Prozentpunkte gestiegen, aber relativ um 50 % (2 ÷ 4). Beide Angaben sind richtig und bedeuten Verschiedenes; sie zu verwechseln ist in Schlagzeilen sehr häufig.
Prozente, die sich Periode für Periode wiederholen, werden multipliziert, nicht addiert. Steigen die Preise zwei Jahre hintereinander um 10 %, beträgt die aufgelaufene Erhöhung 1,10 × 1,10 = 1,21, also 21 % und nicht 20 %. Einfache Zinsen von 5 % pro Jahr auf 1.000 über 3 Jahre ergeben 150; werden die Zinsen auf das Guthaben aufgeschlagen (Zinseszins), sind es 1.000 × 1,05³ = 1.157,63, also 157,63. Das sind rechnerische Beispiele und keine Finanzberatung.
Abkürzungen zum Kopfrechnen
- 10 %: das Komma eine Stelle nach links schieben (10 % von 64 = 6,4).
- 1 %: das Komma zwei Stellen verschieben (1 % von 64 = 0,64).
- 5 %: die Hälfte von 10 % (3,2). 15 % = 10 % + 5 % = 6,4 + 3,2 = 9,6.
- 20 %: das Doppelte von 10 % (12,8). 25 %: ein Viertel (16). 50 %: die Hälfte (32).
- Ist die Zahl unbequem, vertausche: 8 % von 25 ist dasselbe wie 25 % von 8 = 2.
- Um zu prüfen, ob eine Rechnung plausibel ist, runde: 19 % von 197 liegt nahe bei 20 % von 200 = 40 (der exakte Wert ist 37,43).
Häufige Fragen
Wie berechne ich 20 % einer Menge?
Multipliziere die Menge mit 0,20, oder berechne 10 % durch Verschieben des Kommas und verdopple. 20 % von 64 sind 12,8.
Wie komme ich vom Endpreis auf den Preis ohne Mehrwertsteuer?
Teile den Endpreis durch (1 + Satz). Bei einem Satz von 21 % sind 121 als Endpreis 121 ÷ 1,21 = 100 ohne MwSt. Es reicht nicht, vom Gesamtbetrag 21 % abzuziehen.
Warum gleichen sich eine Erhöhung um 50 % und eine Senkung um 50 % nicht aus?
Weil der zweite Prozentsatz von einem anderen Wert berechnet wird. Von 100 auf 150 und von 150 auf 75 ergibt 75. Um nach einem Anstieg um 50 % zum Ausgangswert zurückzukehren, muss er um 33,33 % fallen.
Was ist der Unterschied zwischen Prozentpunkten und Prozent?
Ein Prozentpunkt ist die Differenz zwischen zwei Prozentsätzen: Von 4 % auf 6 % sind es 2 Punkte. Relativ ist der Anstieg 50 %, weil 2 die Hälfte von 4 ist.
Ergeben zwei Rabatte von 10 % einen Rabatt von 20 %?
Nein, sie ergeben 19 %. Bei einem Preis von 100 senken die ersten 10 % ihn auf 90 und die zweiten auf 81, der Gesamtrabatt beträgt also 19.